Question

200 puntos ayuden me :c jajja porfas con procedimiento pls

Answer 1

(1) El triángulo ABC es notable (3-4-5) es decir que $m\angle A\approx 37\°$

(2) Sea O el centro de la circunferencia de la figura entonces AO es bisectriz del ángulo A.

(3) Centrémonos en el triángulo AOT donde $m\angle OAT \approx\dfrac{37\°}{2}$ entonces como AOT es notable se tiene

$\dfrac{OT}{AT}=\dfrac{1}{3}$

Por ende tenemos

$\dfrac{OT}{AT}=\dfrac{1}{3}\\ \\ \\ \dfrac{R}{AB+BT}=\dfrac{1}{3}\\ \\ \\ \dfrac{R}{8+R}=\dfrac{1}{3}\\ \\ \\ 3R=8+R\\ \\ 2R=8\\ \\ \boxed{\boxed{R=4}}$

Answer 2

¡Buenas!

$\mathbf{PRIMER\ M\'ETODO}\\ \\ 1)\\ \\ \textrm{Trazamos}\ \overline{AO}\ \\ \\ 2)\\ \\ \textrm{Por el excentro, entonces divide el \'angulo BAC en dos \'angulos}\\ \textrm{iguales, \'angulo}\ \angle BAO\ \textrm{es igual a 37/2.}\\ \\ 3)\\ \\ tan(\frac{37\º}{2}) = \dfrac{1}{3}\ \ \ \textrm{(Demostraci\'on en el archivo)} \\ \\ 4) \\ \\ \textrm{trazamos el radio de manera perpendicular al lado}\ \overline{BC}\\ \textrm{se forma el cuadrado BTOQ}$

$5) \\ \\ \dfrac{R}{R+8} = \dfrac{1}{3}\\ \\ 3R = R+8\\ \\ 2R=8\\ \\ R=4$

$\mathbf{SEGUNDO\ M\'ETODO}\\ \\ \textrm{Vamos a relacionar el \'area del tri\'angulo con el radio}\\ \\ A_{ \Delta} = r_{a}(p-a)\\ \\ r_{a}\ \to\ \textrm{ex-radio del}\ \Delta ABC\ \textrm{relativo a BC}\\ \\ p\ \to\ semiperimetro\\ \\ \textrm{recordar que el semiperimetro es la semisuma de los lados del}\ \Delta ABC \\ \\ p = \dfrac{6+8+10}{2} = 12 \\ \\ \\ A_{ \Delta} = \dfrac{base\ \cdot\ altura}{2} = \dfrac{6\ \cdot\ 8}{2} = 24\\ \\ 24= r_{a}(12-6)\\ \\ r_{a}=4$

$\mathbf{TERCER\ M\'ETODO}\\ \\ \textrm{La longitud del lado del v\'ertice A hasta cualquier punto de tangencia}\\ \textrm{de la circunferencia es el semiperimetro.}\\ \\ p = 12 \\ \\ AT = R+8\\ \\ 12=R+8\\ \\ R=4$