Question

Pertenece el vector v = (2, 4, 2) al subespacio engendrado por los vectores v1=(1,2,3) ; v2=(1,0,−1)?

Answer 1

$\\ Para que pertenezca a tal subespacio tendria que ser una combinaci\'on \\ lineal de v_{1} \ y \ v_{2} . Supongamos que lo es y que existen s,t \in R tal que: \\ \\ s(1,2,3)+t(1,0,-1)=(2,4,2) \\ (s,2s,3s)+(t,0,-t)=(2,4,2) \\ (s+t,2s,3s-t)=(2,4,2) \\ Entonces deber\'an ser iguales entrada por entrada \\ \\ s+t=2 \qquad (1) \\ 2s=4 \qquad (2) \\ s-t=2 \qquad (3) \\ \\ De (2) \\ s= \frac{4}{2}=2 \qquad (4) \\ \\ Sustituyendo (4) en (1) \\ 2+t=2 \Longrightarrow t=2-2=0 \qquad (5)$

$\\ Sustituyendo (4) y (5) en (3) \\ s-t=2-0=0 \qquad El resultado coincide con el de la ecuacion (3) \\ \\ Como no encontramos ninguna contradicci\'on, podemos decir que v si \\ petenece al subespacio generado por v_{1} \ y \ v_{2}.$

Espero te sirva :)