Question

Una persona tiene ahorrado USD 1 820, de este dinero realiza diversos retiros para arreglar su vivienda. El primer día retiró USD 260, el segundo USD 240 y el tercero de USD 220, y así sucesivamente según una progresión aritmética. ¿En cuántos días retiró todos sus ahorros?

Answer 1

Como cada día saca 20 dólares menos, estamos ante una progresión aritmética, y la fórmula general para las sucesiones aritméticas es la siguiente:

$A_{n} = A_{1} + d(n-1)$

Donde:

$A_{n}$: Es el elemento buscado en la posición n.

$A_{1}$: Es el primer elemento de la sucesión.

$A_{1} = 260$

d: Es la diferencia entre un elemento y el anterior.

$d = A_{n+1}-A_{n} = 240-260 = -20$

n: Marca la posición de cierto elemento.

Sabiendo esto, resolvemos.

$A_{n} = A_{1} + d(n-1)\\ \\ A_{n} = 260 + (-20)(n-1)\\ \\ A_{n} = 260 -20(n-1)\\ \\ A_{n} = 260 -20n+20$

$A_{n} = 280 -20n$ ---> Nos quedó esta expresión.

Esa expresión nos va a servir para la fórmula de la sumatoria de n elementos, y es la siguiente:

$S_{n} = \frac{(A_{1}+A_{n})n}{2}$

Como no sabemos cuál es el elemento "$A_{n}$" para que la sumatoria dé 1820, la reemplazamos por la expresión "280-20n".

$S_{n} = \frac{(A_{1}+A_{n})n}{2}\\ \\ 1820 = \frac{(260+(280-20n))n}{2}\\ \\ 1820 = \frac{(540-20n)n}{2}\\ \\ 1820 = \frac{540n-20n^{2}}{2}$

$3640 = 540n-20n^{2}$ ---> Igualamos a cero.

$20n^{2}-540n+3640 = 0$ ---> Simplificamos dividiendo todo por 20.

$n^{2} - 27n+182 = 0$

Nos quedó una ecuación cuadrática del tipo "ax²+bx+c = 0", y una forma sencilla de resolver esto es aplicando la siguiente fórmula llamada Resolvente:

$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Sabiendo esto, resolvemos.

n²-27n+182 = 0

a   b      c

a = 1

b = -27

c = 182

$n = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\ \\ n = \frac{-(-27)\pm\sqrt{(-27)^{2}-4*1*182}}{2*1}\\ \\ n = \frac{27\pm\sqrt{729-728}}{2}\\ \\ n = \frac{27\pm1}{2}\\ \\ n = \frac{27+1}{2} = \frac{28}{2} = 14\\ \\ n = \frac{27-1}{2} = \frac{26}{2} = 13$

Ya sabemos que la última posición de la sucesión puede ser la 13 o la 14, y para eso, calculamos $A_{13}$ y $A_{14}$.

$A_{n} = A_{1} + d(n-1)\\ \\ A_{13} = 260 - 20(13-1)\\ \\ A_{13} = 260 - 20 * 12$

$A_{13} = 20$ ---> El día 13 retiró 20 USD.

$A_{14} = 260 - 20(14-1)\\ \\ A_{14} = 260 - 20*13$

$A_{14} = 0$ ---> El día 14 no pudo retirar dinero porque no tenía más.

RTA: Retiró todos sus ahorros en 13 días.

Saludos desde Argentina.

Answer 2

Respuesta: 13

Explicación paso a paso:

En la progrecion va disminuyendo de la cuenta 20$ es decir vamos a empezar desde 20$ a 260$... Vamos ; 20(1)-40(2)-60(3)-80(4)-100(4)-120(6)-140(7)-160(8)-180(9)-200(10)-220(11)-240(12)-260(13) = durara en retirar el dinero en 13 días