Question

una caja rectangular sin tapa debe tener un volumen de 1150 cm3. ¿Cuales deben ser las dimensiones para que el costo de fabricacion sea el minimo?

Answer 1

Estamos en presencia de un problema de optimización con restricciones. Nuestra función objetivo es el costo de fabricación. El costo de fabricación de la caja es 

C= K*(a+b+c)  

Donde K es el precio que se debe gastar por fabricacion de 1cm. 
a,b,c son los lados de la caja (ancho alto y profundidad)

Nuestra restricción es que el volumen sea 1150 $cm^{3}$:

a*b*c=1150 $cm^{3}$:

Para este caso para facilitar los cálculos no utilizaremos las unidades, teniendo en cuenta siempre que a,b,c estan expresados en cm.

Por lo tanto nuestro problema es:

Min K*(a+b+c)

Como K es constante nuestra función objetivo sera min a+b+c

S.A. a*b*c=1150

calculamos la función lagrangiana:

L(a,b,c,λ)=(a+b+c) + λ* (a+b+c-1150)

e igualamos las derivadas parciales a cero.

a+b+c-1150=0 (1)

1+λbc= 0  (2)

1+λac = 0 (3)

1+λab = 0 (4)

A su ves sabemos que a,b,c son distintos de cero pues si no no fuera una caja rectangular. y por las ecuaciones λ también es distinto de cero.

A la ecuación (2) le restamos las (3)

λbc-λac = 0 

Entonces λc*(b-a) = 0 ⇒ b-a = 0 ⇒ b=a

Ahora a la ecuación (3) - (4)

λac-λab = 0 

Entonces λa*(c-b) = 0 ⇒ c-b = 0 ⇒ c=b

Por lo tanto a=b=c sustituyendo en 1

3a=1150 ⇒ a = 1150/3 = b = c

y λ = -1/bc = -3/1150

Construimos el Hessiano, para saber si es mínimo, máximo, o punto silla:

H= $\left[\begin{array}{cccc}0&1&1&1\\ (\frac{1150}{3})^{2}&0&-1&-1\\ (\frac{1150}{3})^{2}&-1&0&-1\\ (\frac{1150}{3})^{2}&-1&9&-1\end{array}\right]$

Por ultimo det(H)= $\frac{-1322500}{3}$  negativo por o tanto es un punto silla.

También lo podemos ver si calculamos los autovalores tenemos:

1,1, $\frac{-3+ \sqrt{3967509} }{3} , \frac{-3- \sqrt{3967509} }{3}$

3 autovalores positivos y uno negativo, por lo tanto es un punto silla

Es decir, el mínimo no existe.

Lo que significa que no existen dimensiones para a,b,c que minimicen el costo, existe un punto silla cuando a=b=c=1150/3.