Los lados de un triángulo miden 4cm, 5cm y 7cm. ¿cuánto mide el área?
Sugerencia: mediante la ley del coseno calcula algún ángulo y con éste, encuentra una de sus alturas.
Finalmente: A=b*h/2
Respuestas
Respuesta dada por:
25
Solución
El triángulo descrito es un triángulo escaleno ,por lo tanto aplicando la ley de los cosenos se obtiene:
![a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)\\\cos(A)=\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc}\\A=\cos^{-1}[\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc}] a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(A)\\\cos(A)=\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc}\\A=\cos^{-1}[\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc}]](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E%7B2%7D%3Db%5E%7B2%7D%2Bc%5E%7B2%7D-2bc%5Ccos%28A%29%5C%5C%5Ccos%28A%29%3D%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B-2bc%7D%5C%5CA%3D%5Ccos%5E%7B-1%7D%5B%5Cfrac%7Ba%5E%7B2%7D-b%5E%7B2%7D-c%5E%7B2%7D%7D%7B-2bc%7D%5D)
Sustituyendo los valores iniciales nos queda:
![A=\cos^{-1}[\frac{(4\,cm)^{2}-(5\,cm)^{2}-(7\,cm)^{2}}{-2(5\,cm)(7\,cm)}]\\A=34^{o} A=\cos^{-1}[\frac{(4\,cm)^{2}-(5\,cm)^{2}-(7\,cm)^{2}}{-2(5\,cm)(7\,cm)}]\\A=34^{o}](https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Ccos%5E%7B-1%7D%5B%5Cfrac%7B%284%5C%2Ccm%29%5E%7B2%7D-%285%5C%2Ccm%29%5E%7B2%7D-%287%5C%2Ccm%29%5E%7B2%7D%7D%7B-2%285%5C%2Ccm%29%287%5C%2Ccm%29%7D%5D%5C%5CA%3D34%5E%7Bo%7D)
Luego aplicando el teorema de los senos para encontrar otro ángulo se tiene:
![\frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}\\a\sin(B)=b\sin(A)\\\sin(B)=\frac{b\sin(A)}{a}\\B=\sin^{-1}[\frac{b\sin(A)}{a}]\\B=\sin^{-1}[\frac{(5\,cm)(\sin(34))}{(4\,cm)}]\\B=44^{o}\\C=180-34-44=102^{o} \frac{a}{\sin(A)}=\frac{b}{\sin(B)}\\a\sin(B)=b\sin(A)\\\sin(B)=\frac{b\sin(A)}{a}\\B=\sin^{-1}[\frac{b\sin(A)}{a}]\\B=\sin^{-1}[\frac{(5\,cm)(\sin(34))}{(4\,cm)}]\\B=44^{o}\\C=180-34-44=102^{o}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csin%28A%29%7D%3D%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csin%28B%29%7D%5C%5Ca%5Csin%28B%29%3Db%5Csin%28A%29%5C%5C%5Csin%28B%29%3D%5Cfrac%7Bb%5Csin%28A%29%7D%7Ba%7D%5C%5CB%3D%5Csin%5E%7B-1%7D%5B%5Cfrac%7Bb%5Csin%28A%29%7D%7Ba%7D%5D%5C%5CB%3D%5Csin%5E%7B-1%7D%5B%5Cfrac%7B%285%5C%2Ccm%29%28%5Csin%2834%29%29%7D%7B%284%5C%2Ccm%29%7D%5D%5C%5CB%3D44%5E%7Bo%7D%5C%5CC%3D180-34-44%3D102%5E%7Bo%7D)
Finalmente si trazamos una vertical desde
y la prolongamos hasta su lado
,obtenemos dos triángulos rectángulos ,el primero de ángulos
y el otro de ángulos
,usaremos el primero para encontrar su altura y nos queda:
![\frac{b}{\sin(B)}=\frac{a}{\sin(A)}\\b\sin(A)=a\sin(B)\\b=\frac{a\sin(B)}{\sin(A)}\\b=\frac{(4\,cm)(\sin(44)}{\sin(90)}\\b=2.7\,cm \frac{b}{\sin(B)}=\frac{a}{\sin(A)}\\b\sin(A)=a\sin(B)\\b=\frac{a\sin(B)}{\sin(A)}\\b=\frac{(4\,cm)(\sin(44)}{\sin(90)}\\b=2.7\,cm](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bb%7D%7B%5Csin%28B%29%7D%3D%5Cfrac%7Ba%7D%7B%5Csin%28A%29%7D%5C%5Cb%5Csin%28A%29%3Da%5Csin%28B%29%5C%5Cb%3D%5Cfrac%7Ba%5Csin%28B%29%7D%7B%5Csin%28A%29%7D%5C%5Cb%3D%5Cfrac%7B%284%5C%2Ccm%29%28%5Csin%2844%29%7D%7B%5Csin%2890%29%7D%5C%5Cb%3D2.7%5C%2Ccm)
Por lo tanto el área es:
![A=\frac{(7\,cm)(2.7\,cm)}{2}\\A=9.7\,cm^{2} A=\frac{(7\,cm)(2.7\,cm)}{2}\\A=9.7\,cm^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=A%3D%5Cfrac%7B%287%5C%2Ccm%29%282.7%5C%2Ccm%29%7D%7B2%7D%5C%5CA%3D9.7%5C%2Ccm%5E%7B2%7D)
Saludos.
El triángulo descrito es un triángulo escaleno ,por lo tanto aplicando la ley de los cosenos se obtiene:
Sustituyendo los valores iniciales nos queda:
Luego aplicando el teorema de los senos para encontrar otro ángulo se tiene:
Finalmente si trazamos una vertical desde
Por lo tanto el área es:
Saludos.
Respuesta dada por:
3
Explicación paso a paso:
coronita pliss siiiiii por faborrrer
Adjuntos:
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