si el perimetro de un triangulo equilatero es igual a la logitud de la circunferencia, determine la proporcion entre el area de triangulo con respecto al area del circulo
a) 3:2pi
b) p: 6raiz de 3
c) pi: 9 raiz de 3
d) pi: 3raiz de 3
pregunta filtrada del examen ser bachiller sierra 2018
Respuestas
Respuesta dada por:
1
⭐SOLUCIÓN: π = 9/√3
¿Cómo y por qué? Debemos comparar el concepto de perímetro del triángulo con la fórmula de longitud de una circunferencia.
✔️El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus 3 lados iguales (ya que es equilátero)
P = 3l
Área:
![AT= \frac{ \sqrt{3} }{4} l^{2} AT= \frac{ \sqrt{3} }{4} l^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=AT%3D+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B4%7D++l%5E%7B2%7D+)
✔️Longitud de una circunferencia:
L = 2π · r
Área:
![AC= \pi * r^{2} AC= \pi * r^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=AC%3D+%5Cpi+%2A+r%5E%7B2%7D+)
✔️El perímetro de un triangulo equilatero es igual a la longitud de la circunferencia:
3l = 2π · r
Despejamos l:
l = 2/3 * π · r
Sustituimos l para el área del triángulo:
![AT= \frac{ \sqrt{3} }{4}*( \frac{2}{3} \pi *r )^{2} AT= \frac{ \sqrt{3} }{4}*( \frac{2}{3} \pi *r )^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=AT%3D+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B4%7D%2A%28+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%5Cpi+%2Ar+%29%5E%7B2%7D)
![AT= \frac{ \sqrt{3} }{9} \pi ^{2} * r^{2} AT= \frac{ \sqrt{3} }{9} \pi ^{2} * r^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=AT%3D++%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B9%7D+++%5Cpi+%5E%7B2%7D+%2A+r%5E%7B2%7D+)
Proporción entre el área de triangulo con respecto al área del circulo:
![\frac{AT}{AC} \frac{AT}{AC}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BAT%7D%7BAC%7D+)
![\frac{\frac{ \sqrt{3} }{9} \pi ^{2} * r^{2}}{\pi * r^{2}} \frac{\frac{ \sqrt{3} }{9} \pi ^{2} * r^{2}}{\pi * r^{2}}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B9%7D+%5Cpi+%5E%7B2%7D+%2A+r%5E%7B2%7D%7D%7B%5Cpi+%2A+r%5E%7B2%7D%7D+)
![\frac{ \sqrt{3} \pi }{9} \frac{ \sqrt{3} \pi }{9}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%5Cpi++%7D%7B9%7D+)
Despejamos π:
![\pi = \frac{9}{ \sqrt{3} } \pi = \frac{9}{ \sqrt{3} }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cpi+%3D+%5Cfrac%7B9%7D%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D+)
¿Cómo y por qué? Debemos comparar el concepto de perímetro del triángulo con la fórmula de longitud de una circunferencia.
✔️El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus 3 lados iguales (ya que es equilátero)
P = 3l
Área:
✔️Longitud de una circunferencia:
L = 2π · r
Área:
✔️El perímetro de un triangulo equilatero es igual a la longitud de la circunferencia:
3l = 2π · r
Despejamos l:
l = 2/3 * π · r
Sustituimos l para el área del triángulo:
Proporción entre el área de triangulo con respecto al área del circulo:
Despejamos π:
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