Question

Identidades trigonométricas

Demostrar: sen^{4} -sen^{2} =Cos^{4} -Cos^{2}

(Todos llevan el mismo ángulo)

Answer 1

$sen^{4}(x) - sen^{2}(x) = cos^{4}(x)-cos^{2}(x)$
Tenemos la identidad trigonométrica:
$sen^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$
Y  tenemos que saber que:
$sen^{4}(x) = sen^{2}(x)*sen^{2}(x)$ (Por ley de los exponentes)
Por lo tanto:
$sen^{2}(x)*sen^{2}(x)-sen^{2}(x)=cos^{4}(x)-cos^{2}(x)$
Despejando la identidad trigonométrica:
$sen^{2}(x)=1-cos^{2}(x)$
Sustituyendo:
$(1-cos^{2}(x))(1-cos^{2}(x))-(1-cos^{2}(x))=cos^{4}(x)-cos^{2}(x)$
$(1-cos^{2}(x)) ^{2} -(1-cos^{2}(x))=cos^{4}(x)-cos^{2}(x)$
$1-2cos^{2}(x)+cos^{4}(x) -1+cos^{2}(x))=cos^{4}(x)-cos^{2}(x)$
Por reducción de términos semejantes nos quedará:
$cos^{4}(x)-cos^{2}(x)=cos^{4}(x)-cos^{2}(x)$

Answer 2

Demostrar: sen^4-sen² = cos^4-cos²

Más facil,

Sabiendo que:

sen²+cos² = 1

establecemos las relaciones:

sen² = (1 - cos²)
sen²-1 = -cos²

Y sustituimos en sen^4-sen² = sen²(sen²-1)

sen^4-sen² = sen²(sen²-1) = (1 - cos²)*(-cos²) = cos^4 - cos²

c.q.d.