Question

Buenas noches, por favor ayúdenme haciendo este ejercicio porque de verdad no lo entiendo, y lo necesito muy urgentemente, por favor ayúdenme y muchas gracias de antemano. Es todo el ejercicio 46, las dos imágenes que siguen es la respuesta que te dan.

Answer 1

1) f es cuadrática, entonces es una función polinómica cuadrática de la forma

                                     $f(x)=ax^2+bx+c$

Su gráfica es una parábola.

2) f es cóncava hacia arriba. Esto quiere decir que $a\ \textgreater \ 0$

3) x = -2/3 es el eje de simetría, esto quiere decir que $f(-\frac{2}{3} - x) = f(-\frac{2}{3} + x)$

$a(-\frac{2}{3}-x)^2+b(-\frac{2}{3}-x)+c=a(-\frac{2}{3}+x)^2+b(-\frac{2}{3}+x)+c\\ \\ a(x+\frac{2}{3})^2-b(x+\frac{2}{3})=a(x-\frac{2}{3})^2+b(x-\frac{2}{3})\\ \\ a[(x+\frac{2}{3})^2-(x-\frac{2}{3})^2]-2bx=0\\ \\ a(2x)(\frac{4}{3}) -2bx=0\\ \\ \text{Omitiendo la obviedad que cuando }x=0\text{ la igualdad se cumple }\\ \\ \boxed{b=\dfrac{4a}{3}}$

4) En realidad la función h = h(x) es una función lineal afín, por ello

                                          $h(x) = px+q$

Como P(1,1) está en la gráfica de h entonces

h(1) = 1 = p + q

                                        $h(x)=px+1-p$


Recordemos que hasta ahora tenemos la función f de la siguiente forma

                              $f(x)=ax^2+ \dfrac{4a}{3}x+c$

Hallemos un cero de la función h

                            $px+1-p=0\to x =\dfrac{p-1}{p}$

Se dice que la función h contiene un cero de la función f, es decir

                                 $f\left(\dfrac{p-1}{p}\right)=0$

calculemos...

$a\left(\dfrac{p-1}{p}\right)^2+\dfrac{4a}{3}\left(\dfrac{p-1}{p}\right)+c=0\\ \\ \\ \boxed{c=-\dfrac{(p-1)(7p-3)}{p^2}}$

Por otra parte nos dicen que h intersecta al eje de simetría de f en la ordenada y = 4, es decir que h pasa por el punto (-2/3 , 4)

$h(-2/3)=p(-2/3)+1-p\\ \\ 4=-5p/3+1\\ \\ \boxed{p=-\dfrac{9}{5}}\\ \\ \\ \text{por ende }\boxed{\boxed{h(x)=-\dfrac{9}{5}x+\dfrac{14}{5}}}\\ \\ \\ \text{Luego }c=-\dfrac{364}{81}a\\ \\ \\ \text{As\'i }f(x)=ax^2+\dfrac{4a}{3}x-\dfrac{364}{81}a\\ \\ \\ \boxed{\boxed{f(x)=a\left(x-\dfrac{14}{9}\right)\left(x+\dfrac{26}{9}\right)}}\,,\,a\ \textgreater \ 0$