Un granjero tiene 200 yardas de cerca para delimitar un terreno rectangular. ¿Cuál será el rango del modelo matemático que representa el área de dicho terreno en función de uno de los lados?
Respuestas
Para resolver este ejercicio debemos aplicar las condiciones que se nos especifican, tenemos:
1- 2x+2y < 200 ---------> y = 100-x
2- A = x·y
Por tanto tenemos que el área en función de un solo lado será:
A = x·(100-x)
A = 100x - x²
El rango vendrá dado por los valores negativos y se deberá establecer una condición si se requiere un área máxima o mínima.
El conjunto rango de la función área (A) en relación con uno de lados es:
Rango de A: A ∈ (0, 2500)
Desarrollo de la respuesta:
Vamos a suponer que el terreno rectangular del granjero es como el de la figura anexa, con el lado horizontal denominado x y el lado vertical denominado y, ambos medidos en yardas.
Ya que se conoce que el granjero posee 200 yardas de cerca para delimitar su terreno, partiremos de la expresión del perímetro y de allí despejamos uno de lados en función del otro, para luego realizar el trabajo solicitado con la función área:
1. Perímetro (P) de la parcela.
P = 2x + 2y = 200 yardas
De aquí podemos despejar y en función de x:
2x + 2y = 200 ⇒ 2(x + y) = 200 ⇒ x + y = 100 ⇒
y = 100 - x
2. Expresamos el área (A) del terreno como una función de la variable x.
A = xy = x(100 - x) ⇒ A = 100x - x²
3. Dominio de la función A.
Debemos recordar que el perímetro es 200 yardas, por ende, si los lados horizontales son muy pequeños, casi cero, los lados verticales serán tan grandes que entre los dos sumarán casi 200; es decir, el lado vertical sería casi 100 yardas. Cunado el lado horizontal sea casi 100 yardas, el lado vertical será muy pequeño. Entre estas dos situaciones hay infinitas combinaciones, por lo tanto,
El conjunto dominio o valores posibles para la variable x es:
Dominio de A: x ∈ (0, 100)
OBS: los valores de y están comprendidos en un intervalo similar.
4. Rango de la función A.
Si el lado horizontal es tan pequeño que su valor es casi cero yardas, el lado vertical será casi 100 yardas, de la misma forma si el lado vertical es tan pequeño que su valor es casi cero yardas, el lado horizontal será casi 100 yardas. En ambos casos, el área será casi nula.
Cuando los valores de los lados sean iguales; es decir, el lado horizontal y el lado vertical miden lo mismo, 50 yardas, el área será la mayor posible, será 2500 yardas cuadradas. (A = 50*50)
En definitiva, el conjunto rango de la función área será:
Rango de A: A ∈ (0, 2500)
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