Question

Si :
x^2+y^2+z^2 ≥ xy +yz +zx+K(x-y)^2 , si se cumple para todo numero real , halla el maximo valor de K , la solucion que sea muy detallada .

Answer 1

$x^2+y^2+z^2 \geq xy +yz +zx+K(x-y)^2\\ \\ (1)~~\text{Si }x=y\text{ entonces}\\ \\ 2x^2+z^2\geq x^2 +2zx\\ x^2+z^2\geq 2zx\\ \\ \text{Se deduce que K puede ser cualquier valor}\\ \\ (2)~~\text{ahora supongamos que }x\neq y\\ \\ K\leq \dfrac{x^2+y^2+z^2 - xy -yz -xz}{(x-y)^2}=\dfrac{(x-z)(y-z)}{(x-y)^2}+1\\ \\ \\ \text{Si }z=x\text{ o bien }z=y\text{ entonces }K\leq 1. ~~\text{Hasta aqu\'i }K\in (-\infty,1]$


$\text{Ahora toca ver si es posible acotar la funci\'on }\\ \\ \hspace*{3cm}f(x,y,z)=\dfrac{(x-z)(y-z)}{(x-y)^2}\\ \\ \\ (a)~\text{Puntos cr\'iticos}\\ \\ f_x=-\dfrac{(x + y - 2 z) (y - z)}{(x - y)^3}=0\\ \\ \\ f_y=\dfrac{(x + y - 2 z) (x - z)}{(x - y)^3}=0\\ \\ \\ f_z=-\dfrac{x + y - 2 z}{(x - y)^2}=0\\ \\ \\ P=\left(x,y,\dfrac{x+y}{2}\right)$


$(b)~\text{Clasificaci\'on de }P: \\ \\ f_{xx}(P)=\dfrac{1}{2(x-y)^2}~,~f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{1}{2(x-y)^2}~,~f_{xz}=f_{zx}=-\dfrac{1}{(x-y)^2}\\ \\ \\ f_{yy}(P)=\dfrac{1}{2(x-y)^2}~,~f_{zz}=\dfrac{1}{(x-y)^2}~,~f_{yz}=f_{zy}=-\dfrac{1}{(x-y)^2}\\ \\ \\ \text{Segunda diferencial de }f\\ \\ D^2f=f_{xx}(dx)^2+f_{yy}(dy)^2+f_{zz}(dz)^2+2(f_{xy}dx\,dy+f_{xz}dx\,dz+\cdots\\ ~~~~~~~~~+f_{yz}dy\,dz)$

$\text{... evaluando en P:}\\ \\ D^2f(P)=\dfrac{1}{(x-y)^2}\left[\dfrac{(dx)^2}{2}+\dfrac{(dy)^2}{2}+2(dz)^2+\dfrac{dx\,dy}{2}-dx~dz-dy~dz\right]\\ \\ \\ D^2f(P)=\dfrac{1}{(x-y)^2}\left[\dfrac{1}{4}\left(dx+dy-2dz\right)^2+\dfrac{(dx)^2}{4}+\dfrac{(dy)^2}{4}+(dz)^2\right]\\ \\ \\ D^2f(P)\ \textgreater \ 0\\ \\ \\ \text{Por ende }P\text{ es un punto de m\'inimo }\\ \\ f(P)=-\dfrac{1}{4}\Longrightarrow K\leq -\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{4}\\ \\ \\ \text{Por ende }\boxed{K_{\max}=\dfrac{3}{4}}$

Este es el mayor valor de K para que cumpla tal desigualdad para cualesquiera valores de x, y & z.