Question

ayuda porfavor
El azúcar se descompone en el agua según la fórmula A(t) = c e-kt donde c y k son constantes. Si 30 kilos de azúcar se reducen a 10 kilos en 4 horas, ¿cuánto tardará en descomponerse el 90% del azúcar?.

Answer 1

Tenemos que el azúcar se descompone en el agua, según la formula $A(t) = c e-kt$ donde $c$ y $k$ son constantes, para 30 kilos de azúcar el tiempo que tardara en descomponerse el 90% del azúcar es de 4.3 horas, es decir, 4 horas y 30 minutos.

Planteamiento del problema

Tenemos que el azúcar se descompone en el agua, según la fórmula dada por

                                              $A(t) = c e-kt$

Esta fórmula es un modelo de la descomposición del azúcar en el agua, que depende de la variable $t$ La cual es el tiempo en horas, con los resultados dados por el enunciado vamos a formar un sistema de ecuaciones.

• $A(4) = c e^{-k4} = 20$
• $A(t) = c*e^{kt} = 27$

Tenemos que al descomponerse el 90% de azúcar el modelo debe ser igual a 27 kilos, dado que la fórmula nos da como resultado los kilos de azúcar que se descomponen en el agua.

La igualdad a 20 es debido a que después de 4 horas el azúcar se redujo a 10 kilos, por lo tanto, la descomposición de azúcar en el agua fue de 20, dado que 30 - 20 = 10.

Ahora despejando $c$ de la primera ecuación para sustituir en la segunda y despejar $t$ tenemos lo siguiente

                                           $(\frac{20}{e^{-4k}} )e^{-kt} = 27$

                                              $20 \frac{e^{kt}}{e^{-4k}} = 27$

                                             $t = ln(\frac{27e^4}{20} ) = 4.3$

En consecuencia,  el tiempo que tardara en descomponerse el 90% del azúcar es de 4.3 horas, es decir, 4 horas y 30 minutos.

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