Question

La derivada parcial ∂z∂v∂z∂v de la función z=x2+xy3z=x2+xy3, con x=uv2+w3x=uv2+w3 y y=u+vewy=u+vew cuando u=2u=2, v=1v=1 y w=0w=0 es:

Answer 1

Respuesta: 

Dada la una función que depende de x,y y z tenemos: 

                                                              z = x²+x·y³

Planteamos las condiciones: 

1- x = u·v²+w³
2- y = u + v·w

Sustituimos las condiciones en nuestra función principal. 

                                       z = (u·v²+w³)² +(u·v²+w³)·(u + v·w)³

Procedemos a aplicar la derivada parcial respecto a v, tenemos: 

                                                       ∂z/∂v = dA/dv + dB/dv

A = (u·v²+w³)²  

dA/dv = 2(u·v²+w³)·(2·u·v)  

B = (u·v²+w³)·(u + v·w)³

dB/dv = (2·u·v)·(u + v·w)³ + (u·v²+w³)·3·(u + v·w)²·(w)

Evaluamos cada derivada parcial en u=2, v=1 y w = 0, entonces: 

dA/dv(2,1,0) = 2(2·1²+0³)·(2·2·1)  = 16 

dB/dv(2,1,0) = (2·2·1)·(2 + 1·0)³ + (2·1²+0³)·3·(2 + 1·0)²·(0) = 108 

                                                     ∂z/∂v = 16 + 108 

                                                           ∂z/∂v = 124

La derivada parcial de la función evaluada en los puntos correspondientes tiene un valor de 124.