Question

Hola buenas tardes, no he podido realizar este ejercicio: Si α y β son las raíces de la ecuación x2 + px + q = 0, formar la ecuación cuyas raíces son: α + β2 y β + α2, alguien me puede por favor explicar el ejercicio?

Answer 1

Hola, tenemos que
${x}^{2} + px + q = 0$
Por los teoremas de Cardano :
$\alpha + \beta = - p$
$\alpha \beta = q$
Tenemos que la ecuación que tiene las raíces
$\alpha + { \beta }^{2} \: \: y \: \: \beta + { \alpha }^{2}$
Es dada por
${x}^{2} - ( \alpha + \beta + { \alpha }^{2} + { \beta }^{2} )x \\ + ( \alpha \beta + { \alpha }^{3} + { \beta }^{3} + { \alpha }^{2} { \beta }^{2} )$
De dónde reemplazando
${x}^{2} - ( - p + {p}^{2} + 2q)x \\ + (q + {q}^{2} - {p}^{3} - pq)$