Question

utiliza el metodo de reduccion al absurdo para demostrar que√3 y √5son numeros irracionales

Answer 1

Probemos algo más fuerte: la raíz cuadrada de todo primo p es irracional. 

Supongamos que sqrt(p) es racional luego sqrt(p) = a/b con a y b enteros, b-entero no nulo. Además podemos suponer que (a,b) = 1. 

Elevando al cuadrado ambos lados: 

p = a^2/b^2 

Luego a^2 = pb^2. De forma que p divide a a^2. Pero p es primo luego p divide a a, de forma que a = pk para algun entero k. 
Sustituyendo a = pk se tiene: 

(pk)^2 = pb^2 

p^2 k^2 =pb^2 

pk^2 = b^2 

Luego p divide a b^2 y como p es primo entonces p divide a b. 
Pero entonces a y b tienen como factor común a p, una contradicción pues supusimos que (a,b) = 1. 

Asi si p es primo entonces raiz(p) es irracional. En particular para p = 2,3,5,7,.... se tiene raiz(2), raiz(3), raiz(5), raiz(7) y así sucesivamente son todos irracionales.