Question

encuentre el area del octagono regular inscrita en un circulo de radio r

Answer 1

Encuentre el área del octágono regular inscrita en un circulo de radio r
__________________________________________________________

Trazando dos radios a dos vértices consecutivos del octágono se forma un triángulo isósceles donde el lado desigual es el lado del octágono, ok?

También se deduce de ese dibujo que la altura de dicho isósceles es la apotema del octágono, ok?

Teniendo eso claro, lo primero a calcular es el ángulo central que se obtiene de dividir  el ángulo de una circunferencia completa (360º) entre el número de lados (8) resultando que el ángulo central del octágono es de 45º

Usaré las funciones trigonométricas de seno y coseno para calcular el lado y la apotema.

En principio calculo la mitad de lado que es el cateto menor del triángulo rectángulo que se forma dentro del isósceles al trazarle la altura o apotema del octágono y para ello hay que obtener el seno y coseno de la mitad del ángulo central que es  22,5º sabiendo también que la hipotenusa de ese triángulo es el radio r

Sen 22,5º = 0,38
Cos 22,5º = 0,92

Mitad del lado = Cat. opuesto = Sen 22,5 × r = 0,38r
de donde el lado completo es el doble: 0,76r

Altura = apotema = Cat. adyacente = Cos 22,5 × r = 0,92r

Ya solo queda usar la fórmula para el área de cualquier polígono regular.
A = Perímetro × Apotema / 2 = 0,76r × 8 × 0,92r / 2 = 2,7968r²

Saludos.