Un bloque de 0.5 kg de masa se empuja contra un resorte horizontal de masa despreciable hasta que el resorte se comprime una distancia x. La constante de fuerza del resorte es 450 N m .. Cuando se libera, el bloque viaja a lo largo de una superficie horizontal sin fricción al punto B, la parte baja de una pista circular vertical de radio R = 1 m, y continúa moviéndose a lo largo de la pista. La rapidez del bloque en la parte baja de la pista es = 12 m s ., y el bloque experimenta una fuerza de fricción promedio de 7 N mientras se desliza hacia arriba de la pista. a) ¿Cuál es x? b) ¿Qué rapidez predice para el bloque en lo alto de la pista? c) ¿En realidad el bloque llega a lo alto de la pista, o cae antes de llegar a lo alto?
Respuestas
Un bloque de masa 0.5 kg se empuja contra un resorte horizontal, hasta que el resorte se comprime una distancia x. Cuando se libera, el bloque viaja a lo largo de una superficie sin fricción al punto B, la parte baja de una pista circular vertical y continua moviéndose a lo largo de la pista.
a) x es:
x = 0.4 m
b) La rapidez que alcanza el bloque en lo alto de la pista:
vc = 4.1 m/s
c) El bloque llega a lo alto de la pista, o cae antes de llegar a lo alto:
Si llega a lo alto de la pista.
Explicación:
Datos;
masa: 0.5 kg
k = 450 N
hasta el punto B: sin fricción (fr = 0 N)
Pista circular:
R = 1 m
En la parte baja, rapidez: v = 12 m/s
fr = 7 N
a) Para calcular x;
Aplicar teorema de la conservación de la energía;
Em = Ec + Ep = 0
siendo;
Em: energía mecánica
Ec: energía cinética
Ep: energía potencial
Si Em = 0, entonces;
Ec = -Ep
siendo;
La energía cinética en un sistema masa resorte;
Ec = 1/2·k·x²
La energía potencial en un sistema masa resorte;
Ec = -1/2·m·v²
Sustituir;
1/2·k·x² = -( -1/2·m·v²)
1/2·k·x² = 1/2·m·v²
Despejar x;
x² = (1/2·m·v²)(2/k)
x² = m·v²/k
Aplicar raíz cuadrada a ambos lados;
√x² = √[ m·v²/k]
x = √[ m·v²/k]
Sustituir;
x = √[ (0.5)·(12)²/450]
x = 0.4 m
b) rapidez en la parte alta de la pista circular;
Aplicar teorema de la conservación de la energía;
Em = Ecb + Wr + Ecc + Epc = 0
Ecb + Wr = Ecc +Epc
Ecb = 1/2·m·vb²
El producto de la fuerza de rece (se opone al movimiento) por la distancia a recorrer de la pista circular (πR);
Wr = -fr·πR
Ecc = 1/2·m·vc²
Energía potencial gravitatoria;
Ep = m·g·h
Siendo ;
h = 2R
Epc = m·g·2R
Sustituir;
1/2·m·vb² - fr·πR = 1/2·m·vc² + m·g·2R
Despejar vc;
1/2·m·vc² = 1/2·m·vb² - fr·πR - m·g·2R
vc² = 2(1/2·m·vb² - fr·πR - m·g·2R)/m
vc² = (m·vb² - 2·fr·πR - m·g·4R)/m
Aplicar raíz cuadrada a ambos lados;
√vc² = √[(m·vb² - 2·fr·πR - m·g·4R)/m]
vc = √[(m·vb² - 2·fr·πR - m·g·4R)/m]
Sustituir;
vc = √[((0.5)(12)²- 2(7)(π) - (0.5)(9.8)(4))/0.5]
vc = √[(72-14π-19.6)/0.5]
vc = 4.1 m/s
c) Para que el bloque llegue a lo alto de la pista la fuerza centrifuga debe ser mayor o igual a la fuerza del peso del bloque.
Wb = m·g
Fcf = m·ω²·R
siendo;
ω = v/R
Fcf = m·(v/R)²·R
Fcf = m·v²/R
Igualar;
m·g = m·v²/R
Se calcula v para compárala con vc;
v² = g·R
Aplicar raíz cuadrada a ambos lados;
√v² = √g·R
v = √g·R
v = √[(9.8)(1)]
v = 3.1 m/
vc = 4.1 m/s > v = 3.1 m/s
Esto quiere decir que el bloque si llega a lo alto de la pista circular.
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