Question

hallar la solución de la ecuación diferencial  y'' - y = 0 que satisfaga las condiciones de frontera siguientes : y(0)=0, y' (1)=1

Answer 1

La ecuación es: $y"-y=0,y(0)=0,y'(1)=1$
Luego usando la ecuación auxiliar, se tiene:
$m^{2}-m=0$
Calculando el diacriminante de esta ecuación, obtenemos que:
$a=1\\b=-1\\c=0\\b^{2}-4ac=1>0$
Asi las raices son reales y distintas,por lo tanto;encontrando las raices de la ecuación auxiliar se obtiene:
$m_{1}=0\\m_{2}=1$
Luego las soluciones particulares son:
$y_{1}=C_{1}e^{m_{1}}\\y_{2}=C_{2}e^{m_{1}x}\\y_{1}=C_{1}e^{0}=C_{1}(1)=C_{1}\\y_{2}=C_{2}e^{m_{2}x}=C_{2}e^{x}=C_{2}e^{x}$
Como son soluciones linealmente independientes,la solución general es:
$y=y_{1}+y_{2}=C_{1}+C_{2}e^{x}$
Reemplazando la primera condición $y(0)=0$ en la solución general nos queda:
$y=C_{1}+C_{2}e^{x}\\0=C_{1}+C_{2}e^{0}\\0=C_{1}+C_{2}(1)=C_{1}+C_{2}$
Ahora reemplazemos.la.segunda condición, para.eso derivenos la.solución general:
$y=C_{1}+C_{2}e^{x}\\y'=0+C_{2}e^{x}=C_{2}e^{x}\,\textup{luego}\\y'(0)=1\\1=C_{2}e^{0}=C_{2}$
Resolviendo.el sistema:
$\left\lbrace\begin{array}{rcl}C_{1}+C_{2}&=&0\\C_{2}&=&1\end {array}\right.$
Se tiene:
$C_{1}+C_{2}=0\,\textup{pero}\,C_{2}=1\,\Rightarrow C_{1}+1=0\Rightarrow C_{1}=-1$
Finalmente sustituimos en la solucion general los valores encontrados para tener una solución particular,asi:
$y=C_{1}+C_{2}e^{x}=-1+e^{x}$
Saludos