Question

Dada la.función f(x)=2x^3-5x determina

La derivación

Los valores críticos

Los valores extremos

El punto máximo y minimo

La gráfica de la función

Answer 1

Derivada de una función = la pendiente de una recta

$\frac{df(x)}{dx} = 6x^{2} -5$

Valores críticos: sea un punto critico el valor de x donde la primera derivada es 0, el valor critico seria la función evaluada en el punto critico, es decir, f(x)

$6x^{2} -5 = 0$ ⇒ $6x^{2} = 5$ ⇒  $x^{2} = \frac{5}{6}$

⇒ x = $\sqrt{ \frac{5}{6} }$ ó x = - $\sqrt{ \frac{5}{6} }$

Evaluamos estos puntos en la funcion f(x)

f($\sqrt{ \frac{5}{6} }$ ) = $\frac{-5 \sqrt{30} }{9}$

f(- $\sqrt{ \frac{5}{6} }$) =  $\frac{5 \sqrt{30} }{9}$

Por lo tanto los valores críticos son $\frac{-5 \sqrt{30} }{9}$ y $\frac{5 \sqrt{30} }{9}$

Valores extremos: son los máximos y mínimos de una función. 

Para calcular los máximos y mínimos calculamos la segunda derivada y evaluamos en los puntos de la función si es negativo es un mínimo relativo y si es positivo un máximo relativo.

$\frac{ d^{2} f}{dx} = 12*x$

$\frac{ d^{2} f(\frac{-5 \sqrt{30} }{9})}{dx} = 12*\frac{-5 \sqrt{30} }{9}$

=  $\frac{-20 \sqrt{30} }{3}$ Mínimo Relativo

$\frac{ d^{2} f(\frac{5 \sqrt{30} }{9})}{dx} = 12*\frac{5 \sqrt{30} }{9}$

=  $\frac{20 \sqrt{30} }{3}$ Máximo Relativo