Question

Podrían ayudarme por favor es para un examen:

En el suelo de unos jardines hay un estanque de base hexagonal de 3m de lado y 1,20m de altura.Halla el volumen del estanque

Answer 1

Este estanque tiene una forma denominada matemáticamente como prisma hexagonal y como todos los prismas cuyas bases son polígonos regulares su volumen será el producto del área de la base x la altura.

Tenemos que calcular el área de un hexágono regular de lado 3 metros.

Existe una fórmula que habrás estudiado en geometría donde se obtiene el área de un hexágono regular sabiendo el lado y la apotema. Como aquí solo nos proporcionan el lado, vamos a tener que hilar más fino.

Un hexágono regular tiene seis lados iguales esto nos permitirá dividirlo matemáticamente en seis triángulos equiláteros trazando sus 3 diagonales que van desde un vértice al vértice opuesto.

Si estudiamos uno de estos triángulos vemos que si lo dividimos a su vez trazando una línea desde el vérice central hasta el lado opuesto, esta línea es precisamente la apotema del hexágono y el cateto mayor de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es igual al lado del hexágono (recuerda que era un triángulo equilátero que hemos dividido en dos) y el cateto menor es precisamente la mitad del lado del hexágono.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras llamamos a a la apotema, h a la hipotenusa= L y b al cateto menor = L/2 tenemos:

$a^{2} = L^{2} - (\frac{1}{2}L) ^{2}$

$a^{2} = L^{2} - (\frac{L^{2}}{2^{2}}) ^{2}$

$a^{2} = L^{2} - \frac{L^{2}}{2^{2}}$

$a^{2} = L^{2} - \frac{L^{2}}{2^{2}}$ = $\frac{3L^{2}}{4}$

Entonces $a= L\sqrt{\frac{3}{4}}$

Ya tenemos la apotema que además es la altura de cada uno de los seis triángulos equiláteros en que hemos dividido el hexágono y el área del triángulo = L*a/2

Entonces el área del hexágono = 6*L*a/2 = 3*L*a= $L^{2}3\sqrt{\frac{3}{4}}$

Área = $\frac{3L^{2}\sqrt{3}}{2}$ y como sabemos el lado del hexágono sustituimos el valor en esta fórmula.

Área = $2,60*L^{2}$ = $2,60*3^{2}$ = $23,38 m^{2}$ aproximadamente

Ya tenemos el área de la base, ahora para calcular el volumen tenemos que multiplicar por la altura. Volumen = altura * área de la base

Volumen = $1,20m*23,38m^{2}$= $28,056 m^{3}$

RESPUESTA el volumen = $28,056 m^{3}$ aproximadamente

Suerte con vuestras tareas

Michael Spymore