Question

220. Si los puntos A y B pertenecen a Ia parábola, ¿cuáles son sus coordenadas de forma tal que el triángulo AOB sea equilátero? (p.102)

Answer 1

Respuesta:

coordenadas de B: (2√3, 6)

coordenadas de A: (- 2√3, 6).

Explicación:

1) En vista de que los puntos (2,2) y (2,-2) pertenecen a la parábola, puedes encontrar la ecuación canónica de la misma:

x² = 4py (por ser paralela al eje y y tener vértice en el origen).

Substituye las coordenadas del punto (2,2)

(2)² = 4p(2)

⇒p = 4 / 8 = 1/2

⇒ Ecuación canónica de la parábola x² = 4(1/2)y

⇒ x² = 2y.

2) Ahora trabaja con los puntos A y B.

Las coordenadas de B son desconocidas; (x,y)

La distancia de A a B es: 2x

La altura del eje x a B es: y

La distancia, d, del vértice a B es la hipotenusa de un triángulo con lados x y y.

⇒ d² = x² + y²

3) Por ser un triángulo equilátero, la distancia del vértice al punto B es la misma que la distancia entre los puntos A y B. Por tanto,

d² = (2x)² = 4x²

Ahora iguala: x² + y² = 4x²

⇒ 3x² = y²

4) Como el punto B pertenece a la parábola, sus coordenadas también cumplen x² = 2y

Con lo cual tienes el sistema:

3x² = y²
x² = 2y

Reemplazando la segunda ecuación en la primera:

3(2y) = y²

⇒6y = y²

⇒ y² - 6y = 0

⇒ y(y - 6) = 0

⇒ y = 6 (la solución y = 0 es trivial y no se toma en cuenta)

Reemplazando en una de las ecuaciones de arriba:

x² = 2(6)

⇒ x = √12 = 2√3.

5) Con lo cual tienes las coordenadas de B: (2√3, 6)

Y las coordenadas de A: (- 2√3, 6).

Puedes ver otros ejemplos de ecuaciones de parábolas en https://brainly.lat/tarea/8766914.