Question

188. Demuestra que las circunferencias:

x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0 y x² + y² - 8x - 6y + 21 = 0 son tangentes

Answer 1

Dos circunferencias son tangentes si y solo si se intersectan en un único punto.

De manera que para comprocar si las circunferencias dadas son tangentes debes resolver el sistema de ecuaciones y verificar que hay una única solución:

1) Sistema:

x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0

x² + y² - 8x - 6y + 21 = 0

2) Resta la ecuación de abajo de la de arriba:

4x - 6y - 3 + 8x + 6y - 21 = 0

12x - 24 = 0

12x = 24

x = 24/12

x = 2

3) Reemplaza el valor de x en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de y (o hazlo en las dos ecuaciones solo para confirmar el resultado):

En la primera:

x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0

2² + y² + 2(2) - 6y - 3 = 0

y² - 6y + 4 + 4 - 3 = 0

y² - 6 y + 9 = 0

Factoriza: (y - 3)² = 0

⇒ y = 3.

Y la solucion es x = 2, y = 3

4) Verifica el resultado usando la segunda ecuación:

x² + y² - 8x - 6y + 21 = 0

2² + y² - 8(2) - 6y + 21 = 0

y² - 6y - 16 + 4 + 21 = 0

y² - 6y + 9 = 0

Que es la misma ecuación obtenida arriba: (y - 3)² = 0 ⇒ y = 3.

Con lo cual hemos demostrado que hay una única solución para el sistema de ecuaciones, lo que significa que las circunferencias se tocan en un único punto, concluyendo que son tangentes.
 
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