Question

Explica a qué tipo de gráfica corresponde cada ecuación:

172. x² + y² - 4x - 8y + 19 = 0
173. x² + y² - 2x + 4y + 24 = 0

Answer 1

172. x² + y² - 4x - 8y + 19 = 0

Respuesta: es una circunferencia de centro (2, 4) y radio 1.

Solución:

Para caracterizar esa ecuación, pensando que puede ser la ecuación de una cónica, obtén la ecuación canónica.

Este es el procedimiento detallado para hallar la forma canónica:

1) Reagrupa los términos para juntar las variable con la letra x por una parte, las variables con la letra y por otro, y la constante por otro:

x² - 4x + y² - 8y = - 19

2) Completa cuadrados:

(x² - 4x + 4) - 4+ (y² - 8y + 16) - 16 = - 19

3) Factoriza y reduce los términos constantes que están fuera de los paréntesis:

(x - 2)² + (y - 4)² - 20 = - 19

4) Transpón el término - 20

(x - 2)² + (y - 4)² = - 19 + 20

(x - 2)² + (y - 4)² = 1 ← forma canónica

Ya tienes la forma canónica, lo que te permite caracterizar la función y describir su grárica:

Comparando con (x -h)² + (y - k)² = r²

Conoces que se gráfica es una circunferencia de centro (2, 4) y radio 1.

173. x² + y² - 2x + 4y + 24 = 0

Respuesta: es una circunferencia de centro () y radio .

Solución:

Para caracterizar esa ecuación, pensando que puede ser la ecuación de una cónica, obtén la ecuación canónica.

Este es el procedimiento detallado para hallar la forma canónica:

1) Reagrupa los términos para juntar las variable con la letra x por una parte, las variables con la letra y por otro, y la constante por otro:


x² -2x  + y² + 4y = - 24

2) Completa cuadrados:

(x² - 2x + 1) - 1 + (y² +4y + 4) - 4 = - 24

3) Factoriza y reduce los términos constantes que están fuera de los paréntesis:

(x - 1)² + (y + 2)² - 5 = - 24

4) Transpón el término - 5

(x - 1)² + (y + 2)² = - 24 + 5

(x - 1)² + (y + 2)² = - 19 ← forma canónica


Comparando con (x -h)² + (y - k)² = r², te das cuenta de que no es posible puesto que r² tiene que ser positivo.

Por anto, esa ecuación no es posible y no puede representarse gráficamente.

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