Question

Determina la fórmula que da el termino general en función de n en la siguiente secuencia:
2, 5, 10, 17,… (considera el primer término cuando n=1) 
Me urge ayuden me por favor

Answer 1

Determina la fórmula que da el término general en función de "n" en la siguiente secuencia:  2, 5, 10, 17,… 
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Tenemos una progresión dentro de otra progresión. 

La diferencia 1 (de primer orden) se aprecia que no es constante sino que va aumentando según cambiamos de un término al siguiente.La diferencia 2 (de segundo orden) sí es constante y son 2 unidades las que aumenta en cada paso de términos.

Este tipo de sucesiones se conocen como progresiones cuadráticas porque al calcular su término general se nos queda una expresión similar a la de una ecuación de 2º grado, es decir:  ax²+bx+c

Analizo esta progresión:
Términos de la progresión:   1º              2º             3º            4º
Progresión inicial:                  2               5             10           17    ... etc
Diferencia 1:                                  +3            +5           +7         ⇒ (primer orden)
Diferencia 2:                                          +2            +2                ⇒ (segundo orden)

Ahí se puede observar que la diferencia entre términos es creciente. Eso sería en la "diferencia 1" o primer orden.

En el segundo orden "diferencia 2" es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 2 unidades entre dos términos consecutivos,  3+2 = 5 ... 5+2 = 7 ...  7+2 = 9 ... etc...

Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla (o fórmula) que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar "n" que ocupa en ella.

Para llegar a conocer el término n-ésimo (la fórmula general) de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) de la expresión anotada al principio pero con la letra "n" en lugar de "x", o sea: "an²+bn+c" 

y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la progresión escrita arriba y que he remarcado en negrita.

Para conocer el valor de los coeficientes se hace esto:

1er. térm. de prog. inicial = 2 ... lo llamo C
Diferencia 1 = ---------------+3 ...  lo llamo B
Diferencia 2 = ---------------+2 ...  lo llamo A

Y ahora hay que acudir a esta expresión:

$a_n= \dfrac{A}{2}*n^2+(B- \dfrac{3}{2} *A)*n+(A-B+C)$

Es una fórmula que hay que memorizar para poder resolver las sucesiones cuadráticas.  

Sustituiré las letras A,B,C, por los valores especificados y en cuanto reduzca términos semejantes habré obtenido la regla o fórmula del término n-ésimo.

$a_n= \dfrac{2}{2}*n^2+(3- \dfrac{3}{2} *2)*n+(2-3+2) \\ \\ \\ a_n=n^2+0*n+1 \\ \\ a_n=n^2+1\ \ \ es\ el\ t\'ermino\ general$

Si sustituyes "n" por la sucesión de números naturales, empezando por el 1, verás que van apareciendo los términos de la sucesión inicial. Te hago la prueba:

Para n=1 ... a₁ = (1×1) + 1 = 2
Para n=2 ... a₂ = (2×2) + 1 = 5
Para n=3 ... a₃ = (3×3) + 1 = 10
Para n=4 ... a₄ = (4×4) + 1 = 17 ... y así sigue.

Saludos.