La directriz de una parábola es la recta x+5=0 y su vértice es el punto (0,3). Hallar su ecuación. la respuesta es y^2-20x-6y+9=0
Respuestas
Ecuacion Conica (y-k)^2 = 4p (x-h)
Distancia P de la directriz al vertive 5 unidades
Se remplaza en la ecuacion
(y-3)^2 = 4(5)(x-0) se raliza el binomio al cuadrado (a-b)^2 = a^2-2.a.b+b^2
y^2-6y+9 = 20x se iguala a cero para hallar la ecua. general de la parábola
Se obtiene y^2 - 6y - 20x+9 = 0
La ecuación de la parábola de vértice el punto (0, 3) y directriz x = -5 es:
y² - 6y -20x + 9 = 0
Desarrollo de la respuesta:
Se quiere hallar la ecuación de la parábola que tiene vértice en el punto (0, 3) y directriz por la recta x + 5 = 0 es decir, x = -5:
1.- Eje principal de la parábola
Dado que la directriz es una recta vertical que intersecta al eje de las x en el valor -5, el eje principal de la parábola es una recta horizontal, pues entre el eje y la directriz se forma un ángulo de 90°.
La coordenada y del vértice es el valor 3, por lo que se puede concluir que el eje de la parábola es:
y = 3
2.- Distancia del vértice a la directriz
La distancia entre la directriz y el vértice, llamada p, se puede calcular por diferencia de la coordenada x, de los puntos conocidos; es decir, la coordenada x del vértice y el valor de x al que corresponde la directriz, por lo que:
p = 0 - (-5) = 5
3.- Elementos de la parábola
Vamos a aplicar la ecuación canónica siguiente:
Parábola de eje horizontal: (y - k)² = ±4p(x - h)
donde
(h, k) son las coordenadas del vértice.
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz.
En el caso que nos ocupa:
Parábola de eje horizontal con:
h = 0
k = 3
p = 5
4.- La ecuación de la parábola de vértice el punto (0, 3) y distancia p = 5 es:
(y - 3)² = 4(5)(x - 0) ⇒ (y - 3)² = 20x ⇒
y² - 6y -20x + 9 = 0
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