Question

(Integrales)La adquisición de una nueva maquinaria se espera produzca un ahorro en los
costos de operación de manera que cuando la maquinaria tenga x años de antigüedad, el
ahorro en los costos de operación sea f ( x) dólares por año, donde
f(x)=1000+5000 x

a. ¿Cuánto se ahorrará en costos de operación durante los primeros 6 años de uso de la
maquinara?

b. Si la maquinaria se adquirió a un precio de $67500 dólares, ¿Cuánto tiempo tardará en
pagarse por sí sola?

Answer 1

Respuesta: 

a) Se ahorra $96.000

b) Recupera la inversión en 5 años. 

Explicación: 

El ahorro de costo viene por el área bajo la curva de f(x) por ello debemos integrar f(x) para así obtener a F(x). 

                                             $\int\ {1000+5000 x} \, dx$

Para resolver la integral separamos en sumando. 

                                           $\int {1000 \, dx + \int\ {5000x} \, dx$

Aplicando integrales inmediatas tenemos: 

                                                           F(x) = 1000x + 2500x²

Parte a) 

Encontramos el valor de F(x) para cuando x= 6 años. 

                                      F(6años) = 1000(6) + 2500(6)² = $96000

Parte b)

Teniendo el valor de F(x) = $67500 encontramos el valor de x. 

                                           $67500 = 1000x + 2500x² 

                                         2500x² + 1000x - $67500 = 0

Buscamos las raices de x, teniendo que: 

X₁ = 5 años
X₂ = -5.4 años. 

Como el tiempo no puede ser negativo, la solución es en 5 años.