Question

Cuando tenemos una masa de 5 Kg que se une a un resorte de constante k= 5 N/m y a un amortiguador de constante c = 26 N.s/m, y la soltamos desde el punto x0 = -0.1 m, con velocidad v0 = 1.94 m/s, podemos determinar la Posición, Velocidad y Aceleración de la masa en el tiempo ≥ 0. Asi: La posición x(t) de m, con respecto a la posición de equilibrio, está dada por la solución de Problema de Valor Inicial 5 2 2 + 16 + 5 = 0, (0) = −0.1 ′ (0) = 1.94 Se puede proponer como solución

Answer 1

Sabemos que la fuerza teóricamente, se define como: 

F=m*a 

Donde a, puede calcularse como la segunda derivada del desplazamiento despecto al tiempo. 

de tal modo que: 

$F=m*\frac{ d^{2} x} {d x^{2} }$


Además sabemos que la fuerza elástica viene dada por: 

F=-k*x 

Al igualar las ecuaciones tenemos que: 

$-k*x= m*\frac{ d^{2} x} {d x^{2} }$

Despejando: 

$\frac{ -k} {m} *x=\frac{ d^{2} x} {d x^{2} }$

Obteniendo una ecuación diferencial de segundo grado, cuya solución viene dada por: 

$x= e^{\beta t}$

donde la segunda derivada de x es: 

$\frac{ d^{2} x} {d x^{2} } = \beta^{2} e^{\beta t}$

Sustituyendo en la ED: 

$\frac{ -k} {m} * e^{\beta t} =\beta^{2} e^{\beta t}$

Donde: 

$\omega= \sqrt{\frac{k} {m}}$

y $\omega -\ \textgreater \ \beta$

Aplicando Euler: 

$X= C1 e^{j \omega t } + C2e^{-j \omega t }$

de modo que: 


$X=A Cos (\omega t + \phi)$

Donde=

ω= 5/5= 1

de modo que: 

$X=A Cos( t + \phi)$

Ahora sabemos que cuando t=0 

X(t) = -0,1 m 

v(t)= 1,94 m/s 

Sabemos que v(t) es la primera derivada de x(t) por lo que: 

v(t)= - A Sen(ωt+∅) 

Sustituyendo los valores inciales:

1,94= - A Sen(∅)   (1)

-0,1 = A cos(∅)      (2) 

Despejando A de 1 tenemos que: 

A=-1,94/ sen(Ф) 

Sustituyendo en (2) 

-0,1= -1,94/sen(Ф) Cos(Ф) 

0,1/1,94=ctg(∅) 

∅= 0,61 º

A= -1,94/sen (∅) = -3,37. 

Con estos valores podemos plantear que la solución viene dada por: 

X(t) = -3,37 Cos(t+0,61º)