Question

Una ecuación diferencial no homogénea de orden superior es de la forma: a_n (x) (d^n y)/(dx^n )+a_(n-1) (x) (d^(n-1) y)/(dx^(n-1) )+⋯a_1 (x) dy/dx+a_0 (x)y=g(x), cuya solución general se escribe como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una particular. y=yc+yp
yc se determina haciendo g(x)=0 para convertir la ecuación a una homogénea con coeficientes constantes. Esta es la llamada solución asociada y_c y se encuentra una solución particular de la ecuación no homogénea. Esta es la llamada solución particular y_p. Dicha solución depende de la forma de la función g(x). De acuerdo con lo mencionado anteriormente una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea y^(´´)+4y=sen⁡2t es:
a. y_p=-(t/4)cos⁡2t
b. y_p=(t/4)cos⁡2t
c. y_p=(t/4)sen⁡2t
d. y_p=-(t/4)sen⁡2t

Answer 1

Solución :
 La solución particular yp de la ecuacion diferencial no homogénea
   y'' + 4y = sen2t    se resuelve de la siguiente manera :

   Para la parte no homogénea   g(x) = sen2t 
    Se asume una solución con la forma  y= a₀t sen2t + a₁tcos2t
   d²/dx²((a₀tsen2t + a₁tcos2t))+ 4 (a₀tsen2t + a₁tcos2t)= sen2t

     Al simplificar se obtiene : 
     4a₀cos2t - 4a₁sen2t = sen2t

   Ahora se encuentran los valores de los coeficientes a₀ y a₁
   Se igualan los coeficientes de los términos similares en ambos lados :

     1 = - 4a₁      
     0 = 4a₀        a₁ = - 1/4   y a₀ =0

    y = 0*tsen2t +(-1/4)tcos2t
    y= (- 1/4)tcos2t

   Entonces, la solución particular yp =( -t/4)cos2t para la ecuación 
  no homogénea    y^('') + 4y = sen2t .