Question

3,6,13,24,39,...
¿Cual es la regla general, expresada en lenguaje natural, que permite saber el valor del subsecuente elemento de la sucesión?

Answer 1

3,6,13,24,39,...
¿Cuál es la regla general, expresada en lenguaje natural, que permite saber el valor del subsecuente elemento de la sucesión?
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Fíjate en esto:

La diferencia entre el 2º y 1º término es 3
La diferencia entre el 3º y 2º término es 7  (que son 3+4)
La diferencia entre el 4º y 3º término es 11  (que son 7+4)
La diferencia entre el 5º y 4º término es 15  (que son 11+4) ... etc...

Como puedes comprobar, la diferencia entre términos consecutivos no es una cantidad fija sino que va aumentando de 4 en 4 de manera que aquí tenemos una sucesión dentro de otra sucesión. Lo que viene llamándose SUCESIÓN CUADRÁTICA o de 2º ORDEN.

Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar que ocupa en ella. Veamos...

Términos:     1º              2º             3º            4º            5º
Prog. inicial:  3               6             13           24            39
Diferencia 1:         +3            +7          +11           +15          ⇒ (1º orden)
Diferencia 2:                 +4            +4           +4                   ⇒ (2º orden)

En el segundo orden es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 4 entre dos términos consecutivos, 3+4 = 7,... 7+4= 11,... etc...

Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general  (o  n-ésimo) debe tener esta forma: 

$a_n=an^2+bn+c$

... expresión que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.

Para llegar a conocer el término n-ésimo de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) y eso se consigue sabiendo de antemano unas expresiones que determinan esos valores a partir de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrito arriba y que he remarcado en negrita.
Para conocer el valor de los coeficientes se hace esto:

1er. térm. de prog. inicial = 3 ... lo identifico como  C
Diferencia 1 = ---------------+3 ... lo identifico como  B
Diferencia 2 = ---------------+4 ... lo identifico como  A

Y ahora hay que acudir a esta expresión:
$a_n= \dfrac{A}{2}*n^2+( B-\dfrac{3}{2}*A )*n+(A-B+C)$

Es una fórmula para obtener los coeficientes del término general (a,b,c) y sólo hay que sustituir los valores de (A,B,C) y resolver:

$a_n= \dfrac{4}{2}*n^2+( 3-\dfrac{3}{2}*4 )*n+(4-3+3) \\ \\ \\ a_n=2n^2-3n+4$

Y ahí te queda el término general para calcular cualquier término de esa sucesión según el lugar "n" que ocupe en la misma.

Saludos.