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Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy distinto de sumar y restar números. Cualquiera de los términos que tengan las mismas variables con los mismos exponentes pueden ser combinados.
Sumando Polinomios
Sumar polinomios implica combinar términos. Los términos semejantes son monomios que contienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia. Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y no semejantes:
MonomiosTérminosExplicación3x 14xsemejantelas mismas variables con los mismos exponentes16xyz2 -5xyz2semejantelas mismas variables con los mismos exponentes3x 5y no semejantediferentes variables con los mismos exponentes-3z -3z2no semejantelas mismas variables con diferentes exponentes
Combinamos términos comunes al sumar o restar el coeficiente del término pero manteniendo las variables y sus exponentes. La Propiedad Distributiva es la razón por la que podemos hacer esto. Echa un vistazo al ejemplo de abajo para que veas que está bien sumar y restar los coeficientes de los términos comunes:
EjemploProblema Simplificar Reescribir la expresión usando la Propiedad Distributiva Sumar los términos en los paréntesis Reescribir usando la Propiedad Distributiva Solución
Acabamos de ver cómo sumar dos monomios que tienen términos comunes. También podemos aplicar las propiedades de los números cuando sumamos polinomios. Para sumar polinomios, reorganiza la expresión juntando los términos comunes para combinarlos más fácilmente:
EjemploProblema (8x2 + 4x + 12) + (2x2 + 7x + 10) (8x2 + 2x2) + (4x + 7x) + (12 + 10) Reagrupar usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa 10x2 + 11x + 22 Sumar términos comunes Solución 10x2 + 11x + 22
El procedimiento es el mismo cuando sumamos polinomios que contengan coeficientes negativos o resta como se muestra abajo:
EjemploProblema (-5x2 – 10x – 7y + 2) + (3x2 – 4 + 7x) (-5x2 + 3x2) + (-10x + 7x) – 7y + (2 – 4) Reagrupar usando las Propiedades Conmutativa y Asociativa -2x2 + (-3x) – 7y – 2 Combinar términos comunes Solución -2x2 – 3 x – 7y – 2
Hasta ahora, hemos sumado polinomios leyendo de izquierda a derecha sobre la misma línea. Algunas personas prefieren organizar su trabajo verticalmente, porque les es más fácil asegurarse que están combinando términos semejantes. El proceso de sumar los polinomios es el mismo, pero el arreglo de los términos es diferente. El ejemplo de abajo muestra este método "vertical" de sumar polinomios:
EjemploProblema (3x2 + 2xy – 7 ) + (7x2 – 4xy + 8) 3x2+2xy–7 +7x2–4xy+8 Escribir un polinomio debajo del otro 3x2+2xy–7 +7x2–4xy+8 10x2–2xy+1 Combinar términos comunes poniendo atención en los signos Solución 10x2 – 2xy + 1
Algunas veces en un arreglo vertical, podemos alinear cada término debajo de su semejante, como hicimos en el ejemplo de arriba. Pero otras veces no queda tan ordenado. Cuando no existe un término semejante para cada término, quedará un lugar vacío en el arreglo vertical.
EjemploProblema(4x2y + 5x2 + 3xy – 6x + 2) + (–4x2 – 8xy + 10) 4x2y+5x2+3xy–6x+2+ –4x2–8xy +10 4x2y+x2–5xy–6x+12Escribir un polinomio bajo el otro, alineando verticalmente los términos comunes Dejar un espacio en blanco arriba o abajo de cada término que no tenga término semejante Combinar términos semejantes, poniendo atención en los signos Solución 4x2y + x2 – 5xy – 6x + 12
Restando Polinomios
Restar polinomios también implica identificar y combinar términos comunes. Recuerda que el signo de resta enfrente de los paréntesis es como el coeficiente de -1. Cuando restamos, podemos distribuir (-1) a cada uno de los términos en el segundo polinomio y luego sumar los dos polinomios. Veamos un ejemplo:
EjemploProblema(15x2 + 12xy + 20) – (9x2 + 10xy + 5) (15x2 – 9x2) + (12xy – 10xy) + (20 – 5) Distribuir -1 a los términos en el segundo polinomio, luego reagrupar para que coincidan los términos semejantes 6x2 + 2xy + 15 Combinar términos semejantesSolución6x2 + 2xy + 15
Cuando los polinomios incluyen muchos términos, puede ser fácil perder la noción de los signos. Sé muy cuidadoso de transferirlos correctamente, especialmente cuando restas un término negativo.
EjemploProblema(14x2y + 3x2 – 5y + 14) – (7x2y + 5x2 – 8y + 10) (14x2y + 3x2 – 5y + 14) + (-7x2y – 5x2 + 8y – 10)Distribuir (-1) (14x2y – 7x2y) + (3x2 – 5x2) + (-5y + 8y) + (14 – 10) Reagrupar términos comunes usando la Propiedad Asociativa 7x2y – 2x2 + 3y + 4Combinar términos comunesSolución7x2y – 2x2 + 3y + 4