Una ventana tiene la forma de un rectangulo coronado por un semicirculo. halle las dimensiones de la ventana que permiten admitir mas luz suponiendo que el perimetro debe ser 5m.
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57
Veamos. Sea x la base del rectángulo, y es su altura. Además x es el diámetro del semiciírculo superior.
El perímetro de la figura es P = x + 2 y + π x / 2 = 5
El área de la figura es S = x y + π x² / 4
Del perímetro despejamos y: y = 5/2 - (π + 2) x / 4;
Lo reemplazamos en el área:
S = x [5/2 - (π + 2) x / 4] + π x² / 4; si quitamos paréntesis y simplificamos nos queda:
S = 5/2 x - x² / 2 = 2,5 x - 0,5 x²
Una función se maximiza en el punto en que su primera derivada es nula y su segunda derivada es negativa.
Derivamos dS/dx = 2,5 - x; igualamos a cero; resulta x = 2.5
La segunda derivada es igual a - 1, negativa; por lo tanto en x = 5/2, S es máxima.
S = 2,5² - 0,5 . 2.5² = 3,125 cm²
Adjunto una gráfica con la variación de S respecto de x. Se observa el vértice de la figura que corresponde al mayor valor de S
Saludos Herminio
El perímetro de la figura es P = x + 2 y + π x / 2 = 5
El área de la figura es S = x y + π x² / 4
Del perímetro despejamos y: y = 5/2 - (π + 2) x / 4;
Lo reemplazamos en el área:
S = x [5/2 - (π + 2) x / 4] + π x² / 4; si quitamos paréntesis y simplificamos nos queda:
S = 5/2 x - x² / 2 = 2,5 x - 0,5 x²
Una función se maximiza en el punto en que su primera derivada es nula y su segunda derivada es negativa.
Derivamos dS/dx = 2,5 - x; igualamos a cero; resulta x = 2.5
La segunda derivada es igual a - 1, negativa; por lo tanto en x = 5/2, S es máxima.
S = 2,5² - 0,5 . 2.5² = 3,125 cm²
Adjunto una gráfica con la variación de S respecto de x. Se observa el vértice de la figura que corresponde al mayor valor de S
Saludos Herminio
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