dos números naturales se diferencian en 5 unidades y la suma de sus cuadrados es 73. ¿cuáles son esos números? , ayuda por favor
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Respuesta dada por:
1
¡Hola!
Siendo:
Número mayor = x
Número menor = y
I. Traducimos al lenguaje matemático:
A) Dos números naturales se diferencian en 5 unidades. (Primera ecuación)
![x - y = 5 x - y = 5](https://tex.z-dn.net/?f=x+-+y+%3D+5)
B) La suma de sus cuadrados es 73. (Segunda ecuación)
![{x}^{2} + {y}^{2} = 73 {x}^{2} + {y}^{2} = 73](https://tex.z-dn.net/?f=+%7Bx%7D%5E%7B2%7D++%2B++%7By%7D%5E%7B2%7D++%3D+73)
II. Resolvemos:
A) Despejamos una variable en la primera ecuación:
![x - y = 5 \\ x = 5 + y x - y = 5 \\ x = 5 + y](https://tex.z-dn.net/?f=x+-+y+%3D+5+%5C%5C+x+%3D+5+%2B+y)
B) El valor anterior lo reemplazamos en la segunda ecuación:
![{x}^{2} + {y}^{2} = 73 \\ {(5 + y)}^{2} + {y}^{2} = 73 {x}^{2} + {y}^{2} = 73 \\ {(5 + y)}^{2} + {y}^{2} = 73](https://tex.z-dn.net/?f=+%7Bx%7D%5E%7B2%7D++%2B++%7By%7D%5E%7B2%7D++%3D+73+%5C%5C++%7B%285+%2B+y%29%7D%5E%7B2%7D++%2B++%7By%7D%5E%7B2%7D++%3D+73)
⚠️ Recordemos el siguiente producto notable:
![{(a + b)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2} {(a + b)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+%7B%28a+%2B+b%29%7D%5E%7B2%7D++%3D++%7Ba%7D%5E%7B2%7D++%2B+2ab+%2B++%7Bb%7D%5E%7B2%7D+)
Sigamos:
![{(5 + y)}^{2} + {y}^{2} = 73 \\ 25 + 10y + {y}^{2} + {y}^{2} = 73 \\ 2 {y}^{2} + 10y - 48 = 0 \\ \frac{2 {y}^{2} + 10y - 48 = 0 }{2} \\ \\ {y}^{2} + 5y - 24 = 0 \\ (y +8)(y - 3) = 0 {(5 + y)}^{2} + {y}^{2} = 73 \\ 25 + 10y + {y}^{2} + {y}^{2} = 73 \\ 2 {y}^{2} + 10y - 48 = 0 \\ \frac{2 {y}^{2} + 10y - 48 = 0 }{2} \\ \\ {y}^{2} + 5y - 24 = 0 \\ (y +8)(y - 3) = 0](https://tex.z-dn.net/?f=+%7B%285+%2B+y%29%7D%5E%7B2%7D++%2B++%7By%7D%5E%7B2%7D++%3D+73+%5C%5C+25+%2B+10y+%2B++%7By%7D%5E%7B2%7D++%2B++%7By%7D%5E%7B2%7D++%3D+73+%5C%5C+2+%7By%7D%5E%7B2%7D++%2B+10y+-+48+%3D+0+%5C%5C++%5Cfrac%7B2+%7By%7D%5E%7B2%7D++%2B+10y+-+48+%3D+0+%7D%7B2%7D++%5C%5C++%5C%5C++%7By%7D%5E%7B2%7D++%2B+5y+-+24+%3D+0+%5C%5C+%28y++%2B8%29%28y+-+3%29+%3D+0)
y + 8 = 0
y = - 8 ✖️
y - 3 = 0
y = 3 ✔️
⚠️ Recuerda que nos está pidiendo encontrar números naturales, por eso solo tomamos la segunda respuesta. ⚠️
Si y = 3
x = 5 + y = 5 + 3 = 8
Entonces:
x = 8
y = 3
Respuesta: Los números son 8 y 3.
Espero que te sirva de ayuda ^u^
Saludos:
Margareth ✌️
Siendo:
Número mayor = x
Número menor = y
I. Traducimos al lenguaje matemático:
A) Dos números naturales se diferencian en 5 unidades. (Primera ecuación)
B) La suma de sus cuadrados es 73. (Segunda ecuación)
II. Resolvemos:
A) Despejamos una variable en la primera ecuación:
B) El valor anterior lo reemplazamos en la segunda ecuación:
⚠️ Recordemos el siguiente producto notable:
Sigamos:
y + 8 = 0
y = - 8 ✖️
y - 3 = 0
y = 3 ✔️
⚠️ Recuerda que nos está pidiendo encontrar números naturales, por eso solo tomamos la segunda respuesta. ⚠️
Si y = 3
x = 5 + y = 5 + 3 = 8
Entonces:
x = 8
y = 3
Respuesta: Los números son 8 y 3.
Espero que te sirva de ayuda ^u^
Saludos:
Margareth ✌️
Respuesta dada por:
0
veamos el ejercicio
sean los números x ,y donde
x-y = 5 --------------------------- ecuación 1
x = 5+y --- --------------------- ecuación 2
x² +y² = 73
elevando al cuadrado a la ecuación 1
(x-y)²= 5²
recuerda está fórmula (a-b) = a²- 2(ab)+b² = a²+b²-2(ab) resolviendo
x² -2xy +y² = 25 acondicionando
x²+y² -2xy = 25 pero x²+y² = 73
73 -2xy = 25
73-25 = 2xy
48 = 2xy pero x = 5+y reemplazando
48 = 2(5+y)(y)
48=10y+2y²
2y² +10y-48 =0 simplificando entre 2
2y² +10y/2 -48/2 = 0
y² +5y -24 = 0
y ----------------- 8
y ----------------- -3
(y+8)(y-3) = 0
y+8 =0 y-3 =0
y = -8 y =3 descartamos elnegativo
y = 3
remplazamos en la ecuación 2
x =5+y
x = 5+3
x =8
los números son 8 y 3
verificando
8² +3² = 73 x-y = 5
64+9 = 73 8-3 = 5
73 = 73 5 = 5
sean los números x ,y donde
x-y = 5 --------------------------- ecuación 1
x = 5+y --- --------------------- ecuación 2
x² +y² = 73
elevando al cuadrado a la ecuación 1
(x-y)²= 5²
recuerda está fórmula (a-b) = a²- 2(ab)+b² = a²+b²-2(ab) resolviendo
x² -2xy +y² = 25 acondicionando
x²+y² -2xy = 25 pero x²+y² = 73
73 -2xy = 25
73-25 = 2xy
48 = 2xy pero x = 5+y reemplazando
48 = 2(5+y)(y)
48=10y+2y²
2y² +10y-48 =0 simplificando entre 2
2y² +10y/2 -48/2 = 0
y² +5y -24 = 0
y ----------------- 8
y ----------------- -3
(y+8)(y-3) = 0
y+8 =0 y-3 =0
y = -8 y =3 descartamos elnegativo
y = 3
remplazamos en la ecuación 2
x =5+y
x = 5+3
x =8
los números son 8 y 3
verificando
8² +3² = 73 x-y = 5
64+9 = 73 8-3 = 5
73 = 73 5 = 5
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