Question

dos números naturales se diferencian en 5 unidades y la suma de sus cuadrados es 73. ¿cuáles son esos números? , ayuda por favor

Answer 1

¡Hola!

Siendo:
Número mayor = x
Número menor = y

I. Traducimos al lenguaje matemático:

A) Dos números naturales se diferencian en 5 unidades. (Primera ecuación)
$x - y = 5$

B) La suma de sus cuadrados es 73. (Segunda ecuación)
${x}^{2} + {y}^{2} = 73$

II. Resolvemos:

A) Despejamos una variable en la primera ecuación:
$x - y = 5 \\ x = 5 + y$

B) El valor anterior lo reemplazamos en la segunda ecuación:
${x}^{2} + {y}^{2} = 73 \\ {(5 + y)}^{2} + {y}^{2} = 73$

⚠️ Recordemos el siguiente producto notable:
${(a + b)}^{2} = {a}^{2} + 2ab + {b}^{2}$

Sigamos:
${(5 + y)}^{2} + {y}^{2} = 73 \\ 25 + 10y + {y}^{2} + {y}^{2} = 73 \\ 2 {y}^{2} + 10y - 48 = 0 \\ \frac{2 {y}^{2} + 10y - 48 = 0 }{2} \\ \\ {y}^{2} + 5y - 24 = 0 \\ (y +8)(y - 3) = 0$

y + 8 = 0
y = - 8 ✖️

y - 3 = 0
y = 3 ✔️

⚠️ Recuerda que nos está pidiendo encontrar números naturales, por eso solo tomamos la segunda respuesta. ⚠️

Si y = 3
x = 5 + y = 5 + 3 = 8

Entonces:
x = 8
y = 3

Respuesta: Los números son 8 y 3.

Espero que te sirva de ayuda ^u^

Saludos:
Margareth ✌️

Answer 2

veamos el ejercicio 
sean los números x ,y   donde

x-y = 5           ---------------------------  ecuación 1
x = 5+y          --- ---------------------     ecuación 2
x² +y² = 73
elevando al cuadrado a la ecuación 1
(x-y)²= 5²   
recuerda está fórmula     (a-b) = a²- 2(ab)+b² = a²+b²-2(ab)  resolviendo
x² -2xy +y² = 25 acondicionando
x²+y² -2xy = 25      pero x²+y² = 73
73 -2xy = 25
73-25 = 2xy
48 = 2xy     pero x = 5+y reemplazando
48 = 2(5+y)(y)
48=10y+2y²
2y² +10y-48 =0 simplificando entre 2
2y² +10y/2 -48/2 = 0
y² +5y -24 = 0
y -----------------  8
y -----------------  -3
(y+8)(y-3) = 0
y+8 =0      y-3 =0
y = -8             y =3  descartamos elnegativo
y = 3
remplazamos en la ecuación 2
x =5+y
x = 5+3
x =8 
 los números son  8 y 3 
verificando
8² +3² = 73                   x-y = 5
64+9 = 73                    8-3 = 5
73 = 73                           5  = 5