Question

Utilizando la ecuación de van der Waals y la ecuación del gas ideal determine el volumen ocupado por cierta cantidad de dióxido de carbono, 2 moles, a 5 MPa de presión y 400 k de temperatura. Para el CO2 las constantes para la ecuación de van der Waals, a y b, son respectivamente 366 kPa.m6 /kmol2 y 0,0428 m3 /kmol. ¿Se justifica utilizar la ecuación de van der Waals? ¿Por qué razón?

Answer 1

Partimos de los datos:

Gas: CO₂
$n=2 \ [mol] \\ P=5 \ [MPa]=5 \cdot 10^{6} \ [Pa] \\ T=400 \ [K] \\ a= 366\left[\ \dfrac{KPa \cdot m^{6} }{ Kmol^{2} }\right] \\ \\ b=0.0428\left[\ \dfrac{ m^{3} }{Kmol}\right]$

La ecuación de Van der Waals es la siguiente:

$\left(P+\ \dfrac{a n^{2} }{ V^{2} }\right)(V-nb)=nRT$

Y si queremos usar las unidades internacionales, las constantes ''a'' y ''b'' han de cambiarse:

$a=366\left[\ \dfrac{KPa \cdot m^{6} }{ Kmol^{2} }\right] \cdot \dfrac{ 10^{3} \ [Pa] }{1 \ [KPa]} \cdot \dfrac{1 \ [ Kmol^{2}] }{ 10^{6} \ [ mol^{2}] } =0.366\left[\ \dfrac{Pa \cdot m^{2} }{ mol^{2} }\right] \\ \\ b=0.0428\left[\ \dfrac{ m^{3} }{Kmol}\right] \cdot \dfrac{1 \ [Kmol]}{ 10^{3} \ [mol] }=0.0428 \cdot 10^{-3}\left[\ \dfrac{ m^{3} }{mol}\right]$

Antes de reemplazar los valores en la ecuación de Van der Waals conviene trabajarla un poco:

$PV-Pnb+ \dfrac{a n^{2} }{V}- \dfrac{ n^{3}ab }{ V^{2} }=nRT$

Multiplicando todo por V²:

$P V^{3}- Pnb V^{2}+an^{2}V- n^{3}ab= nRTV^{2} \\ \\ P V^{3}- n(Pb+RT) V^{2}+a n^{2}V- n^{3}ab=0$

Reemplazando los valores que conocemos:

$(5 \cdot 10^{6})V^{3}-(2)\left( \ (5 \cdot 10^{6})(0.0428 \cdot 10^{-3})+(8.314)(400) \right) V^{2}+ \\ (0.366)( 2)^{2}V-( 2)^{3}(0.366)(0.0428 \cdot 10^{-3})=0$

Operando te queda una ecuación cúbica en función del volumen:

$(5 \cdot 10^{6}) V^{3} -7079.2 V^{2}+1.464V-(1.25 \cdot 10^{-4})=0$

Con ayuda de un software puedes aproximar la solución de dicha ecuación:

$\boxed{V \approx 0.00118694... \ [ m^{3}]}$

Se compara este valor con el que se obtendría utilizando la ecuación de gas ideal:

$V= \dfrac{nRT}{P}= \dfrac{(2)(8.314)(400)}{(5 \cdot 10^{6}) } \approx \boxed{0.00133024... \ [ m^{3}]}$
 
¿Se justifica utilizar la ecuación de van der Waals? ¿Por qué razón?
No se justifica debido a que la diferencia es de diez milésimas y es muy engorroso desarrollar el cálculo para despejar el volumen (sin ayuda de una calculadora es imposible).

Es muy práctico quedarse con el resultado de la ecuación de gas ideal y la respuesta en definitiva sería:

$\boxed{V=0.001 \ [ m^{3}]}$

Y eso sería todo, ¡¡un saludo!!