Question

karina tiene cierta cantidad de caramelos si los agrupa de 5 en 5 le sobrarían 3 si los agrupa de 7 en 7 le sobrarían 5 pero si los agrupa de 6 en 6 le faltarían 2 cuantos caramelos tiene karina por favor me dicen como lo hicieron y si es mejor con una foto

Answer 1

Respuestas: Hay varios números posibles: Karina tiene 208 ó 418 ó 628 ó 838 ó 1048 caramelos.

Explicación paso a paso:

Vamos a llamar N al número de caramelos que tiene Karina.

Vamos a indicar con el exponente ᶬ que un número es múltiplo de la base.

Nos dicen que si agrupa los caramelos de 5 en 5 le sobrarían 3

Esto se puede expresar como N = 5ᶬ + 3

Nos dicen que si agrupa los caramelos de 7 en 7 le sobrarían 5

Esto se puede expresar como N = 7ᶬ + 5

Nos dicen que si agrupa los caramelos de 6 en 6 le faltarían 2

Esto se puede expresar como N = 6ᶬ - 2

Hay una propiedad de los múltiplos que dice que si un número es múltiplo de diferentes números con el mismo resto, entonces el número es múltiplo del mínimo común múltiplo de esos números con ese mismo resto.

Tenemos que N = 5ᶬ + 3  

esto es igual que decir que le falta 2 para ser múltiplo exacto de 5

entonces N = 5ᶬ - 2

Tenemos que N = 7ᶬ + 5

esto es igual que decir que le falta 2 para ser múltiplo exacto de 7

entonces N = 7ᶬ - 2

Resumiendo, tenemos

N = 5ᶬ - 2

N = 7ᶬ - 2

N = 6ᶬ - 2

Como el número buscado es múltiplo de 5, 7 y 6, menos 2 unidades, entonces será múltiplo del mínimo común múltiplo de estos números, menos 2 unidades:

N = [M.C.M.(5,7,6)]ᶬ - 2

factorizamos estos números

5 = 5

7 = 7

6 = 2×3

El mínimo común múltiplo de estos números es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:

El mínimo común múltiplo de 5,7,6 = 5×7×2×3 = 210

N = 210ᶬ - 2 => el número de caramelos debe ser múltiplo de 210 - 2

Los números de caramelos que cumplen las condiciones son de la manera:

N = n×210 - 2 siendo n∈ℕ siendo n un número natural.

Hay varias posibilidades, los primeros 5 números posibles serían:

N₁ = 1×210 - 2 = 208 caramelos , éste es el primer número posible

N₂ = 2×210 - 2 = 420 - 2 = 418 caramelos , éste es otro número posible

N₃ = 3×210 - 2 = 630 - 2 = 628 caramelos , éste es otro número posible

N₄ = 4×210 - 2 = 840 - 2 = 838 caramelos , éste es otro número posible

N₅ = 5×210 - 2 = 1050 -2 = 1048 caramelos , éste es otro número posible

... hay tantos números posibles como números naturales...

Respuestas: Karina tiene 208 ó 418 ó 628 ó 838 ó 1048 caramelos

Verificación

N₁ = 208 caramelos de 5 en 5 sobran → 208(mod 5) = 3, sobran 3

[208/5 = 41,... ], [41×5 = 205] , [208-205 = 3]

N₂ = 418 caramelos de 5 en 5 sobran → 418(mod 5) = 3, sobran 3

[418/5 = 83,... ], [83×5 = 415] , [418-415 = 3]

N₃ = 628 caramelos de 5 en 5 sobran → 628(mod 5) = 3, sobran 3

[628/5 = 125,... ], [125×5 = 205] , [628-625 = 3]

N₄ = 838 caramelos de 5 en 5 sobran → 838(mod 5) = 3, sobran 3

[838/5 = 167,... ], [167×5 = 835] , [838-835 = 3]

N₅ = 1048 caramelos de 5 en 5 sobran → 1048(mod 5) = 3, sobran 3

[1048/5 = 209,... ], [209×5 = 1045] , [1048-1045 = 3]

-

N₁ = 208 caramelos de 7 en 7 sobran → 208(mod 7) = 5, sobran 5

[208/7 = 29,... ], [29×7 = 203] , [208-203 = 5]

N₂ = 418 caramelos de 7 en 7 sobran → 418(mod 7) = 5, sobran 5

[418/7 = 59,... ], [59×7 = 413] , [418-413 = 5]

N₃ = 628 caramelos de 7 en 7 sobran → 628(mod 7) = 5, sobran 5

[628/7 = 89,... ], [89×7 = 623] , [628-623 = 5]

N₄ = 838 caramelos de 7 en 7 sobran → 838(mod 7) = 5, sobran 5

[838/7 = 119,... ], [119×7 = 833] , [838-833 = 5]

N₅ = 1048 caramelos de 7 en 7 sobran → 1048(mod 7) = 5, sobran 5

[1048/7 = 149,... ], [149×7 = 1043] , [1048-1043 = 5]

-

N₁ = 208 caramelos de 6 en 6  → 208(mod 6) = 4 - 6 = -2, faltan 2

[208/6 = 34,... ], [34×6 = 204] , [208-204 = 4]

N₂ = 418 caramelos de 6 en 6  → 418(mod 6) = 4 - 6 = -2, faltan 2

[418/6 = 69,... ], [69×6 = 414] , [418-414 = 4]

N₃ = 628 caramelos de 6 en 6  → 628(mod 6) = 4 - 6 = -2, faltan 2

[628/6 = 104,... ], [104×6 = 624] , [628-624 = 4]

N₄ = 838 caramelos de 6 en 6  → 838(mod 6) = = 4 - 6 = -2, faltan 2

[838/6 = 139,... ], [139×6 = 834] , [838-834 = 4]

N₅ = 1048 caramelos de 6 en 6  → 1048(mod 6) = 4 - 6 = -2, faltan 2

[1048/6 = 174,... ], [174×6 = 1044] , [1048-1044 = 4]

Queda comprobado que todos estos números cumplen las condiciones

$\textit{\textbf{Michael Spymore}}$