Question

En un rectángulo el área mide 20 dm2 y su perímetro 18 dm. Cuáles son sus dimensiones.

Answer 1

En un rectángulo el área mide 20 dm² y su perímetro 18 dm.
¿Cuáles son sus dimensiones?
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Base = b
Altura = a

1ª ecuación: 
b×a = 20

Perímetro = 2b+2a
2ª ecuación:
2b+2a = 18

Despejando de la primera y sustituyendo en la segunda...

$2* \dfrac{20}{a}+2a=18 \\ \\ \\ \dfrac{40}{a}+2a=18 \\ \\ \\ 40+2a^2=18a\ \ \ simplificando\ y\ acomodando \\ \\ a^2-9a+20=0\ \ \ por\ f\'ormula\ general... \\ \\ \left \{ {{a_1=\ (9+1)/2\ =\ 5} \atop {a_2\ =\ (9-1)/2\ =\ 4}} \right.$

Y en esas dos soluciones ya tenemos las dimensiones ya que si te das cuenta, al buscar la dimensión "b" hay que dividir 20 entre cada una de ellas y nos da la otra. 20 entre 5 son 4 y 20 entre 4 son 5.

La respuesta es:  5 y 4 dm.

Saludos.

Answer 2

Tenemos.

Largo = x
Ancho = y
Area = 20dm²
Perimetro = 18dm

Area = Largo por Ancho
20 = xy   (1)

Perimetro = 2 Anchos + 2 Largos
18 =  2y + 2x   (2)

Despejamos x de (1) Y lo reemplazamos en (2)

20 = xy
20/y = x

18 = 2y + 2x
18 = 2y + 2(20/y)
18 = 2y + 40/y            Reducimos a un común denominador
18y/y = 2y²/y + 40/y   Simplificamos y
18y = 2y² + 40
0 = 2y² - 18y + 40       Simplificamos sacamos mitad
0 = y² - 9y + 20
y² - 9y + 20 = 0           Factorizamos trinomio de la forma x² + bx + c
(y -   5)(y - 4) = 0        Tiene como solución dos raices reales
y - 5 = 0
y = 5
  o
y - 4 = 0
y = 4

Para ancho 5dm
20 = xy
20/y = x
20/5 = x
4 = x
Para ancho 5dm El largo debe de ser de 4dm

Para ancho 4dm
20/y = x
20/4 = x
5 = x
Para ancho 4d el largo debe de ser 4dm