Question

Los numeros desde el 1 Hasta el 2009 se escriben consecutivamente en la pizarra. En una primera pasada se borra el primer numero escrito,el tercero,el quinto y asi sucesivamente hasta borrar el 2009. en una segunda pasada se aplico el mismo procedimiento de los numeros que quedaron. Borrando el primero de ellos, el tercero,el quinto y asi sucesivamente. Esto se repite mientras queden numeros en la pizarra. En que pasada se elimina 1728?
cual es el ultimo numero borrado y en que pasada se elimina?

Answer 1

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,...,2009 \\[2pt] \text{En la primera pasada se borran todos los impares 1 , 3 , 5 ,7,...,2009}\\ \text{quedando \'unicamente los pares , m\'ultiplos de 2: } \\[6pt] 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,...,2008 \\[6pt] \text{En la segunda pasada se borran los de lugar impar que son : 2,6,10,14,}\\\text{,18,... , quedando los m\'ultiplos de 4 :} \\[6pt] 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,...,2008$

$\text{En la tercera pasada se borran 4,12,20,28,36,44,....quedando los}\\ \text{m\'ultiplos de 8 :}\\[6pt] 8,16,24,32,40,48,...,2008$

$\text{Esto se repite y en cada pasada los n\'umeros que sobreviven son }\\ \text{m\'ultiplos de 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , 1024.} \\[2pt] \text{Se puede asociar de la siguiente forma :} \\[2pt] \text{Despu\'es de : } \\[2pt] \text{primera pasada sobreviven m\'ultiplos de 2}=2^1 \\ \text{segunda pasada sobreviven m\'ultiplos de 4}=2^2 \\ \text{tercera pasada sobreviven m\'ultiplos de 8}=2^3 \\ \text{cuarta pasada sobreviven m\'ultiplos de 16}=2^4 \\ \text{y as\'i sucesivamente} .$

$\text{Como } 1728 =64\times 27\text{ es m\'ultiplo de 64 sobrevive a la sexta pasada }\\ \text{pero 1728 no es m\'ultiplo de 128 por lo tanto no sobrevive la s\'eptima}\\ \text{pasada y es justamente en esta pasada que se borra.}$

$\text{El \'ultimo n\'umero en ser borrado debe ser un m\'ultiplo de una potencia}\\ \text{de 2 , el m\'aximo pero menor a 2009 , entonces debe ser m\'ultiplo de}\\ \text{1024.}\\[2pt] \text{Justamente 1024 es el \'unico m\'ultiplo de 1024 menor a 2009 , ya que }\\ \text{el siguiente m\'ultiplo ser\'ia 2048 que se pasa de 2009.} \\[2pt] \text{El \'ultimo en ser borrado es 1024}$

$\text{Como }1024=1024\times 1 \text{ es m\'ultiplo de 1024 sobrevive a la pasada }\\ \text{n\'umero 10 y es borrado en la pasada n\'umero 11}$