Un problemas de derivadas...: Sea f la funcion definida por f(x)=ax³+bx²+cx+d, a≠0. Encuentre las constantes reales a,b,c,y d sabiendo que la grafica de f satisface las siguientes condiciones: en el origen de coordenadas la recta tangente forma un angulo de π/3 con el semieje positivo de las x y admite recta paralela al eje x en los puntos de abscisas x=1 y x=-1.
Respuestas
Respuesta dada por:
2
Por pasar por el orígen de coordenadas, el valor de "x" es cero y el de "y" también. Reemplazamos estos valores en la función:
con x= 0 e y=0:
-----> ![d=0 d=0](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D0)
Ahora, la tangente es la pendiente de la curva en ese punto, y equivale a la derivada de la función:
, en donde ![f'(x)=m f'(x)=m](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3Dm)
Como dice que en los puntos de abscisas x=1 y x=-1 es una recta paralela al eje "x", esto quiere decir que es horizontal, la pendiente toma un valor de cero. En otras palabras:
para x=1 y también para x=-1
Reemplazamos dichos valores para ambos casos:
***** para x = 1:
![0=3a (1)^{2}+2b(1)+c 0=3a (1)^{2}+2b(1)+c](https://tex.z-dn.net/?f=0%3D3a+%281%29%5E%7B2%7D%2B2b%281%29%2Bc+)
Expresión 1.
***** para x = -1:
![0=3a (-1)^{2} +2b(-1)+c 0=3a (-1)^{2} +2b(-1)+c](https://tex.z-dn.net/?f=0%3D3a+%28-1%29%5E%7B2%7D+%2B2b%28-1%29%2Bc)
Expresión 2.
Al sumar ambas expresiones: Expresión 1 + Expresión 2, nos queda:
![0+0=3a+2b+c+3a-2b+c 0+0=3a+2b+c+3a-2b+c](https://tex.z-dn.net/?f=0%2B0%3D3a%2B2b%2Bc%2B3a-2b%2Bc)
---> Dividiendo esta ecuación para 2, nos queda:
Expresión 3.
Ahora, sabiendo que
; Ello quiere decir que, cuando la curva pasa por el orígen,
donde
es la pendiente de la recta tangente a la curva en el origen, entonces:
,
de donde: ------>![c= \sqrt{3} c= \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=c%3D+%5Csqrt%7B3%7D+)
Reemplazando "c" en la Expresión 3, tenemos:
; Despejando "a": ----> ![a=- \frac{ \sqrt{3} }{3} a=- \frac{ \sqrt{3} }{3}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D-+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B3%7D+)
reemplazamos estos dos valores para hallar el valor de "b" en cualquiera de las dos expresiones (1 o 2):
Reemplazando en la expresión 1:
![0=3a+2b+c 0=3a+2b+c](https://tex.z-dn.net/?f=0%3D3a%2B2b%2Bc)
![0=3(- \frac{ \sqrt{3} }{3} )+2b+ \sqrt{3} 0=3(- \frac{ \sqrt{3} }{3} )+2b+ \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=0%3D3%28-+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B3%7D+%29%2B2b%2B+%5Csqrt%7B3%7D+)
; Despejando "b": -----> ![b=0 b=0](https://tex.z-dn.net/?f=b%3D0)
En resumen:
![a=- \frac{ \sqrt{3} }{3} a=- \frac{ \sqrt{3} }{3}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D-+%5Cfrac%7B+%5Csqrt%7B3%7D+%7D%7B3%7D+)
![b=0 b=0](https://tex.z-dn.net/?f=b%3D0)
![c= \sqrt{3} c= \sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=c%3D+%5Csqrt%7B3%7D+)
![d=0 d=0](https://tex.z-dn.net/?f=d%3D0)
Ahora, la tangente es la pendiente de la curva en ese punto, y equivale a la derivada de la función:
Como dice que en los puntos de abscisas x=1 y x=-1 es una recta paralela al eje "x", esto quiere decir que es horizontal, la pendiente toma un valor de cero. En otras palabras:
Reemplazamos dichos valores para ambos casos:
***** para x = 1:
***** para x = -1:
Al sumar ambas expresiones: Expresión 1 + Expresión 2, nos queda:
Ahora, sabiendo que
de donde: ------>
Reemplazando "c" en la Expresión 3, tenemos:
reemplazamos estos dos valores para hallar el valor de "b" en cualquiera de las dos expresiones (1 o 2):
Reemplazando en la expresión 1:
En resumen:
F4BI4N:
buena explicación ;)
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