Question

alguien sabría cómo hacer este ejercicio de ecuaciones diferenciales? realmente no entiendo como resolverlo

Answer 1

Jajaja pero porque lo pones en Primaria o donde es que estudias , eso lo vi en la universidad !!! .
Al problema :

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{2x^3\cos(x^2)}{y} \ , \ y(\sqrt{\pi}\,)=0 \\[4pt] \text{Sea \ }u=\frac{y}{x} \ \Rightarrow \ y=ux \ \Rightarrow \ \frac{dy}{dx}=u+x\,\frac{du}{dx} \\[4pt] \text{Se reemplaza en la ecuaci\'{o}n} : \\[4pt] u+x\,\frac{du}{dx}=u+\frac{2x^3\cos(x^2)}{ux} \\[4pt] \text{simplificando se obtiene : } \\[4pt] x\,\frac{du}{dx} =\frac{2x^2\cos(x^2)}{u} \ \Rightarrow \ \frac{du}{dx}=\frac{2x\cos(x^2)}{u} \\[4pt] \Rightarrow \ u\,du=2x\cos(x^2)\,dx \\[4pt]$

$\displaystyle \Rightarrow \ u\,du=2x\cos(x^2)\,dx \\[4pt] \text{Se integra a ambos lados } \\[4pt] \int u\,du=\int 2x\cos(x^2)\,dx \\[4pt] \frac{u^2}{2}=\sin (x^2)+C \\[4pt] \text{Se repone el cambio de variable} \\[4pt] \frac{(y/x)^2}{2}=\sin (x^2)+c \\[4pt] \Rightarrow \ y^2=2x^2\sin(x^2)+2c\,x^2 \\[4pt] \text{De la condici\'{o}n cuando } x=\sqrt{\pi } \text{ entonces } y=0\\[4pt] \text{Se reemplaza}\\[4pt] 0^2=2(\sqrt{\pi}\,)^2\sin(\pi )+2c\,\pi \ \Rightarrow \ 0 = 0+2c\,\pi \ \Rightarrow \ c=0$

$\text{Por lo tanto la soluci\'{o}n es : } \\[6pt] y^2=2x^2\sin(x^2)$