Respuestas
Bernoulli escogió la figura de la espiral logarítmica como emblema y el epitafio en latín Eadem mutata resurgo ("Mutante y permanente, vuelvo a resurgir siendo el mismo") para su tumba; contrariamente a su deseo de que fuese tallada una espiral logarítmica (constante en el crecimiento de su radio), la espiral que tallaron los maestros canteros en su tumba fue una espiral de Arquímedes (constante en la diferencia de los radios). [1] La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.
Eadem mutata resurgo y la espiral logarítmica es también el emblema del Colegio de Patafísica.1
Jakob Bernoulli escribió que la espiral logarítmica puede ser utilizada como un símbolo, bien de fortaleza y constancia en la adversidad, o bien como símbolo del cuerpo humano, el cual, después de todos los cambios y mutaciones, incluso después de la muerte, será restaurado a su Ser perfecto y exacto. [2]
Ecuaciones[editar]En coordenadas polares (r, θ) la fórmula de la curva puede escribirse como
{\displaystyle r=ab^{\theta }\,}o bien
{\displaystyle \theta =\log _{b}(r/a)\,} , de aquí el nombre "logarítmica"y en forma paramétrica como
{\displaystyle x(\theta )=ab^{\theta }\cos(\theta )\,}{\displaystyle y(\theta )=ab^{\theta }\sin(\theta )\,}con números reales positivos a y b. a es un factor de escala que determina el tamaño de la espiral, mientras b controla cuan fuerte y en que dirección está enrollada. Para |b| >1 la espiral se expande con un incremento θ, y para |b| <1 se contrae.
En geometría diferencial, la espiral puede definirse como una curva c(t) con un ángulo constante α entre el radio y el vector tangente
{\displaystyle \arccos {\frac {\langle \mathbf {c} (t),\mathbf {c} '(t)\rangle }{\|\mathbf {c} (t)\|\|\mathbf {c} '(t)\|}}=\alpha }Si α = 0 la espiral logarítmica degenera en una línea recta.
Si α = ± π / 2 la espiral logarítmica degenera en una circunferencia.
Características[editar]Espiral construida utilizando rectángulos con la proporción áurea. Resulta una aproximación a la espiral logarítmica.Cualquier línea recta al origen cortará a la espiral logarítmica con el mismo ángulo α, que puede calcularse (en radianes) como arctan(1/ln(b)). El grado de la espiral es el ángulo (constante) que la espiral posee con circunferencias centradas en el origen. Puede calcularse como arctan(ln(b)). Una espiral logarítmica de grado 0 (b = 0) es una circunferencia; el caso límite es una espiral logarítmica de grado 90 (b = 0 o b = ∞) es una línea recta desde el origen.
Comenzando en un punto P y moviéndose hacia dentro, a lo largo de la espiral, hay que rodear el origen infinitas veces antes de alcanzarlo; sin embargo, la distancia total de este camino es finita. El primero en darse cuenta de esto fue Torricelli incluso antes de que se ideara el cálculo infinitesimal. La distancia total es r/cos(α), donde r es la distancia en línea recta desde P al origen.
Se pueden construir espirales logarítmicas de grado 17,03239 utilizando la sucesión de Fibonacci o la proporción áurea.
La espiral logarítmica se distingue de la espiral de Arquímedes por el hecho de que las distancias entre su brazos se incrementan en progresión geométrica, mientras que en una espiral de Arquímedes estas distancias son constantes.
Espirales logarítmicas en la naturaleza[editar]Los brazos de las galaxias espirales son aproximadamente espirales logarítmicas. Nuestra propia galaxia, la Vía Láctea, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logarítmica de unos 12 grados.
Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, también forman espirales logarítmicas.
En biología son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logarítmica. Por ejemplo, las telas de araña y las conchas de molusco. La razón es la siguiente: comienza con una figura irregular F0. Se aumenta F0 en un cierto factor para obtener F1, y se pone F1 junto a F0, de forma que se toquen dos lados. Se aumenta F1 en el mismo factor para obtener F2, y se pone junto a F1, como antes. Repitiendo este proceso se genera aproximadamente una espiral logarítmica cuyo grado está determinado por el factor de expansión y el ángulo con que las figuras son puestas una al lado de otra.
El halcón se aproxima a su presa según una espiral logarítmica: su mejor visión está en ángulo con su dirección de vuelo; este ángulo es el mismo que el grado de la espiral.
Los insectos se aproximan a las luces artificiales según una espiral aproximadamente logarítmica, porque están acostumbrados a volar con un ángulo constante a las fuentes luminosas. Normalmente son el Sol o la Luna la única fuente de luz y volar de esta forma produce un vuelo en línea recta, ya que el insecto no hace vuelos tan largos como para que la posición del Sol o la Luna cambie significativamente.
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