Question

Ecuaciones diferenciales :
(1-$x^{3 }$)dy/dx-3$x^{2}$y=0

Answer 1

Hola :D ,
Estas son las ecuaciones diferenciales "más sencillas" ya que es integrar respecto a x e  y , dejas todo lo que tiene a y a un lado y todo lo que tiene x al otro , luego resuelves las integrales , a este nivel ya debes saber integrar bien:

$(1-x^{3}) \frac{dy}{dx} - 3x^{2}y = 0 \\ \\ (1-x^{3}) \frac{dy}{dx} = 3x^{2}y \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2y}{(1-x^3)}\\ \\ \frac{dy}{y} = \frac{3x^{2}}{(1-x^3)}dx / \int\ \, \\ \\ \int\ \frac{dy}{y}\, = \int\ \frac{3x^{2}}{(1-x^3)}dx$

$\int\ \frac{dy}{y}\, = \int\ \frac{3x^{2}}{(1-x^3)}dx \ \\ \\ \int\ \frac{3x^{2}}{(1-x^3)}dx => u = x^{3} \ \ \ du = 3x^{2}dx \\ \\ \int\ \frac{du}{1-u} = -ln(1-u) = -ln(1-x^{3}) \\ \\ Reemplazando: \\ ln(y)= -ln(1-x^{3})+k / e^{()} \\ y = \frac{M}{1-x^{3}} \\ Donde \ M = e^{k}$

Saludos,cualquier consulta me avisas .

Answer 2

Resolver la siguiente Ecuación Diferencial:
$(1-x^{3}) \frac{dy}{dx}-3x^{2}y=0$

Claramente es una ED por variables separables:

⇒  $(1-x^{3}) \frac{dy}{dx}=3x^{2}y$

⇒  $(1-x^{3})dy=3x^{2}ydx$

⇒  $\frac{1}{y}dy = \frac{3x^{2}}{1-x^{3}} dx$

Integrando en ambos miembros:

⇒  $\int\limits {\frac{1}{y}} \, dy= \int\limits {\frac{3x^{2}}{1-x^{3}}} \, dx$

⇒  $ln|y|= -\int\limits {\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}} \, dx +k_{1}$

Pero en la integral del segundo miembro notamos que: 2x^2dx es la diferencial de x^3-1, entonces:

⇒  $ln|y|= -ln|x^{3}-1| +k_{2}$

⇒  $ln|y|= ln| \frac{1}{x^{3}-1} | +k_{2}$

Luego escribiendo como potencia en base "e":

⇒  $e^{ln|y|}=e^{ ln| \frac{1}{x^{3}-1} |}. e^{k_{2}}$

.·.   $y= \frac{k_{3}}{x^{3}-1}$   ;   $k_{3}=e^{k_{2}}$