Question

a partir de la definicion de la derivada en un punto halla la derivada de las siguietes funciones en x=1 por favor necesito para ya

Answer 1

SOLUCION :

   Definición de derivada :

    f'(x) = lim h→0  ( f(x+h) -f(x) )/h

  a) f(x) = x +6

     f'(x) = lim h→0 ( x+h +6- x-6)/h = lim h→0  1 = 1

     f'( 1 ) = 1

  b) f(x) = x/2 -1

     f'(x) = lim h→0  ( ( x+h)/2 -1 - x/2 + 1 )/h = lim h→0  ( x/2 +h/2 -x/2 )/h = 1/2

    f'(1) = 1/2 .

  c) f(x ) = -x² +2x +1

     f' ( x ) = lim h→0 [ ( - ( x+h)²+ 2*( x+h) +1 ) - (-x²+2x+1 )]/h

    f'(x) = lim h→0  ( -x²-2xh-h²+2x+2h+1+x²-2x-1 )/h

   f'(x) = lim h→0  -2x -h +2

   f'(x) =-2x+2

   f'(1) = -2*1 +2 =0  

Answer 2

Se calculan las derivadas usando la ecuación f'(x) = Lim h→0  (f(x+h)-f(x))/h

La derivada por definición de una función f(x) es el siguiente limite

f'(x) = Lim h→0  (f(x+h)-f(x))/h

Procedemos al calculo de la derivadas:

•  f(x) = x +6

    f'(x) = Lim h→0 ( (x+h +6)- (x +6))/h =

    Lim h→0 (x+h +6-x -6)/h = Lim h→0 h/h = lim h→0 1 = 1

 Evaluamos en el punto f'( 1 ) = 1

•  f(x) = x/2 -1

    f'(x) = Lim h→0 ((( x+h)/2 -1) - (x/2-1 ))/h =

    Lim h→0  ( x/2 +h/2- 1-x/2 + 1 )/h

  =  Lim h→0 (h/2)/h = Lim h→0 1/2 = 1/2

 Evaluamos en el punto f'(1) = 1/2 .

• f(x ) = -x² +2x +1

    f'( x ) = Lim h→0 ((-( x+h)²+ 2*( x+h) +1 ) - (-x²+2x+1 ))/h

    = Lim h→0 ((-(x² +2xh + h²)+ 2x+2h +1 )+x²-2x-1 ))/h

    = Lim h→0  (-x²-2xh-h²+2x+2h+1+x²-2x-1 )/h

    = Lim h→0  (-2xh-h²+2h)/h

    = Lim h→0 -2x-h+2

    = -2x+2

 Evaluamos en el punto f'(1) = -2*1 +2 =0  

• f(x) = 2/x

        f'(x) = Lim h→0 ((2/(x +h) -2/x)/h  

        = Lim h→0 ((2x - 2*(x+h))/((x+h)*x))/h

        = Lim h→0 ((2x - 2*x -2h))/((x+h)*x))/h

        = Lim h→0 ((-2h))/((x+h)*x)*h)  

       = Lim h→0 -2/((x+h)*x)

       = -2/((x+0)*x) = -2/x²

 Evaluamos en el punto f'(1) = -2/1² = -2 

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