Una caja con base y tapa cuadradas debe tener un volumen de 50 cm3. encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. .
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6
Sea x el lado de la base y h la altura de la caja
V = x² h
Superficie total S = 2 x² + 4 x h: h = V / x²
S = 2 x² + 4 x V / x² = 2 x² + 4 V / x = 2 x² + 200 / x
Una función es mínima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es positiva en el punto crítico.
Derivamos S' = 4 x - 200 / x² = 0
Nos queda x = ∛50 ≈ 3,68 cm
S'' = 4 + 400 / x³ > 0 para x = 3,68 cm. Hay un mínimo
h = V / x² = 50 / 3,68² ≈ 3,68 cm
Por lo tanto la caja de superficie mínima es un cubo de 3,68 cm de lado
La superficie mínima es 6 . 3,68² = 81,4 cm²
Se adjunta gráfico con la variación de S respecto de x y el punto crítico
Saludos Herminio
V = x² h
Superficie total S = 2 x² + 4 x h: h = V / x²
S = 2 x² + 4 x V / x² = 2 x² + 4 V / x = 2 x² + 200 / x
Una función es mínima en los puntos en que su primera derivada es nula y la segunda es positiva en el punto crítico.
Derivamos S' = 4 x - 200 / x² = 0
Nos queda x = ∛50 ≈ 3,68 cm
S'' = 4 + 400 / x³ > 0 para x = 3,68 cm. Hay un mínimo
h = V / x² = 50 / 3,68² ≈ 3,68 cm
Por lo tanto la caja de superficie mínima es un cubo de 3,68 cm de lado
La superficie mínima es 6 . 3,68² = 81,4 cm²
Se adjunta gráfico con la variación de S respecto de x y el punto crítico
Saludos Herminio
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