Question

Un granjero dispone de 200 metros de cerca para cercar dos corrales rectangulares adyacentes. ¿que dimensiones haran que el area encerrada sea maxima .

Answer 1

Se forma dos rectángulos adheridos.

La base total de los es x.

La altura de cada uno es y

Hay un rectángulo total con x de base y tres alturas y

El perímetro es 200 m = 2 x + 3 y; de modo que y = (200 - 2 x) / 3

El área es A = x y = x (200 - 2 x) / 3 = 200 x /3 - 2 x² / 3

Una función es máxima si su primera derivada es nula y la segunda es negativa en el punto crítico

Derivamos A' = 200 / 3 - 4 x / 3 = 0; x = 50 m

La segunda derivada es A'' = - 4/3, negativa, hay un máximo en x = 50

y = (200 - 2 . 50) / 3 = 100/3 = 33,3 m

El área máxima es A = 50 . 33,3 = 1666 m²

Pero cada uno de los dos rectángulos tienen una base comprendida en 0 y 50 m y altura 33,3 m. Hay por lo tanto infinitas soluciones.

Podemos elegir dos rectángulos iguales adheridos de 25 m de base cada uno y 33, m de altura. 

Se adjunta gráfico de la función área.

Saludos Herminio

Answer 2

Las dimensiones necesarias para que el área encerrada sea máxima son: 50 metros en los lados horizontales y 33.33 metros en los lados verticales y en la división de los corrales.

Explicación paso a paso:

La función objetivo es el área de los corrales. Si llamamos    y    la longitud del lado vertical y de la división de los corrales y    x    la longitud del lado horizontal; la función objetivo viene dada por:

Área  =  A  =  xy  m²

Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la longitud total de cerca (ecuación auxiliar) para despejar    y     en función de x:

$\bold{2x~+~3y~=~200\qquad \Rightarrow\qquad y~=~\dfrac{200~-~2x}{3}~=~\dfrac{200}{3}~-~\dfrac{2}{3}x}$

por tanto la función objetivo es

$\bold{A~=~x[\dfrac{200}{3}~-~\dfrac{2}{3}x] ~=~\dfrac{200}{3}x~-~\dfrac{2}{3}x^2}$

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.

$\bold{A'~=~ \dfrac{200}{3}~-~\dfrac{4}{3}x}$

$\bold{A'~=~0 \qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{200}{3}~-~\dfrac{4}{3}x~=~0\qquad \Rightarrow}$

x  =  50         es el punto crítico o posible extremo de la función.

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.

$\bold{A''~=~-\dfrac{4}{3}}$

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.

$\bold{A''_{(50)}~=~-\dfrac{4}{3}~<~0\qquad \Rightarrow}$

x  =  50          es un máximo de la función A.

Sustituimos el valor de    x    en la ecuación de cálculo de    y:

$\bold{ y~=~\dfrac{200}{3}~-~\dfrac{2}{3}(50)~=~\dfrac{100}{3}~=~33.33~m}$

Las dimensiones necesarias para que el área encerrada sea máxima son: 50 metros en los lados horizontales y 33.33 metros en los lados verticales y en la división de los corrales.

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