Question

Resolver el siguiente límite:

$\lim_{x \to \infty} ( \frac{x}{1-x} ) ^{2x-2}$

Ayuda: para la resolución del ejercicio consideren la siguiente expresión:

$\lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{n} ) ^{n} =e$

Nota: Si, en caso, no lo resuelven, también me pueden ayudar con las pautas que necesito seguir para resolver este ejercicio. Muchas gracias.

Answer 1

$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^{2x-2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(-\dfrac{1}{1-\frac{1}{x}}\right)^{2x-2}\\ \\ \\ \lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^{2x-2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{1}{1-\frac{1}{x}}\right)^{2x-2}$


$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^{2x-2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{-2x+2}\\ \\ \\ \lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^{2x-2}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{-2x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left[\left(1-\dfrac{1}{x}\right)^{-x}\right]^2$


$\boxed{\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(\dfrac{x}{1-x}\right)^{2x-2}=e^2}$