Question

El lado de un rombo mide 5 cm, y su área, 24 cm^2. Calcula la longitud de sus diagonales.

Answer 1

Para resolver este problema lo primero que debemos hacer es determinar que datos se han suministrado y escribirlos:

Datos

lado del rombo = l = 5cm

área del rombo = a= 24 cm²

diagonal del rombo= d =?

diagonal mayor de un rombo = D = ?

Resolución

El área de un rombo es igual al valor de las diagonales divididas entre 2 

$a= \frac{d*D}{2}$

D*d=2a

D*¨d=2(24)

D*d=48 (1)

Por otro lado el perímetro de un rombo es igual a 4 veces el valor del lado 

P=4l

P=4*5

P=20 cm

Ahora, el valor de las diagonales y el lado están relacionados mediante el teorema de Pitágoras.

l²=(D/2)²+(d/2)²

25=(D/2)²+(d/2)² (2)

Estamos en presencia de dos ecuaciones y dos incógnitas, resolvemos mediante el método de sustitución 

De (1) sabemos que 

D=48/d

Sustituimos en (2)

25=(24/d)²+(d/2)²

25=576/d²+d²/4

25=2304+d⁴/4d²

100d²=2304+d⁴

d⁴-100d²+2304=0

Nos encontramos con una ecuación de 4to grado por lo que tendremos 4 posibles soluciones.

Las posibles soluciones serán 6, 8 -6 y -8

Descartamos las opciones negativas porque es un área y sus longitudes no pueden ser negativas 

Ahora como el valor que estábamos calculando es el de la longitud de la diagonal menor d, el valor correcto será 6 para que la relación

d*D=48 

se cumpla siendo d el menor valor y D el mayor 

Por lo tanto,

d=6

D=8