Los automóviles a y b viajan en carriles adyacentes de una carretera y en t = 0 tienen las posiciones y velocidades que se muestran en la figura. si se sabe que el automóvil a tiene una aceleración constante de 1.8 ft/s2 y que b tiene una desaceleración constante de 1.2 ft/s2, determine
a.cuando y donde a alcanzará a b,
b.la rapidez de cada automóvil en ese momento. , .
Respuestas
Falto agregar la figura donde se observan las posiciones
y velocidades de los automóviles A y B.
Datos:
VoA= 24 mi / h
VoB = 36 mi / h
d AB = 75 ft
aA = 1.8 ft / s² ( aceleración )
aB = 1.2 ft / s² ( desaceleracion )
Calcular :
a ) t =? dA =?
b ) VfA =? VfB = ?
Solución :
Se procede a transformar las unidades :
24 mi / h * 1609 m / 1 mi * 1 ft / 0.3048 m * 1h / 3600 s= 35.19 ft / s
36 mi / h * 1609 m / 1 mi * 1 ft / 0.3048 m * 1h / 3600 s = 52.78 ft /s
Se plantea la ecuación de distancia ,según la figura :
dA = VoA * t + aA * t² / 2
dB = VoB * t - aB * t² / 2
dA = dB + 75 ft
VoA * t + aA * t²/ 2 = VoB * t - aB * t² / 2 + 75 ft
35.19 ft/s* t +1.8 ft/s²* t²/2 = 52.78 ft /s * t - 1.2 ft/s² * t²/2 + 75 ft.
35.19 * t + 0.9 *t² = 52.78 * t - 0.6 * t² + 75
0.9 *t² + 0.6 * t² +35.19 * t - 52.78 * t - 75 = 0
1.5 * t² - 17.59 * t - 75 = 0
Se resuelve la ecuación de segundo grado :
- b +- √ ( b² - 4 * a * c )
t = ____________________
2 * a
- ( - 17.59 ) +- √( ( - 17.59 )² - 4 * ( 1.5 ) * ( - 75 ))
t = __________________________________________
2 * ( 1.5 )
17.59 +- √ 759.4081
t = ____________________
3
17.59 +- 27.5573
t = ___________________
3
17.59 + 27.5573
t₁ = __________________ = 15.0491 s ≈ 15.05 s.
3
17.59 - 27.5573
t₂ = ___________________ = - 3.32 s este resultado no
3 se toma tiempos
negativos no existen.
a ) t = 15.05 s.
dA = 35.19 ft / s * 15.05 s + 1.8 ft / s² * (15.05 s )² / 2
dA = 529.60 ft + 203.85 ft = 733.45 ft.
b ) VfA = VoA + aA * t
VfA = 35.19 ft /s + 1.8 ft /s² * 15.05 s = 62.28 ft / s
VfB = 52.78 ft / s - 1.2 ft /s² * 15.05 s = 34.72 ft / s
El tiempo que transcurre para que el automóvil a alcance al automóvil b es de 15 segundos.
Explicación:
Usaremos las ecuaciones del movimiento uniforme
v = d/t v = v₀ + at d = v₀t + (¹/₂)at² v² = v₀² + 2ad
donde
- d = distancia
- v = velocidad
- v₀ = velocidad inicial
- a = aceleración
- t = tiempo
Vamos a sustituir los valores dados en la gráfica anexa para cada uno de los automóviles en el punto de encuentro:
Automóvil a
- v₀ = (24 mi/h) (5280 pie/mi)(1/3600 h/s) = 35.2 pie/s
- va = 35.2 + 1.8 tf
- x = 35.2 tf + (¹/₂) (1.8) tf² = 35.2 tf + 0.9 tf²
- va² = (35.2)² + 2 (1.8) x = 1239.04 + 3.6 x
Automóvil b
- v₀ = (36 mi/h) (5280 pie/mi)(1/3600 h/s) = 52.8 pie/s
- vb = 52.8 - 1.2 tf
- x - 75 = 52.8 tf + (¹/₂) (-1.2) tf² ⇒ x = 75 + 52.8 tf - 0.6 tf²
- vb² = (52.8)² + 2 (-1.2) (x - 75) = 2967.84 - 2.4 x
Ahora respondemos las interrogantes:
a. Cuando y donde a alcanzará a a b.
Igualamos las ecuaciones de x
35.2 tf + 0.9 tf² = 75 + 52.8 tf - 0.6 tf² ⇒ 1.5 tf² - 17.6 tf - 75 = 0
Al resolver la ecuación de segundo grado se obtiene una sola raiz positiva tf = 15 s, por lo que
El tiempo que transcurre para que el automóvil a alcance al automóvil b es de 15 segundos.
Conociendo tf calculamos x
x = 35.2 (15) + 0.9 (15)² = 731 pies
El punto en que el automóvil a alcanza al automóvil b está a 731 pies de la posición inicial de a, y a 731 - 75 = 656 pies de la posición inicial de b.
b. La rapidez de cada automóvil en ese momento.
Ya que se conoce tf sustituimos en las ecuaciones de va y vb para calcularlas:
va = 35.2 + 1.8 (15) = 62.2 pie/s
vb = 52.8 - 1.2 (15) = 34.8 pie/s
En el momento en que se encuentran los automóviles, el automóvil a se desplaza a 62.2 pie/s y el automóvil b a 34.8 pie/s.
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