Question

Un conejo salta y forma una trayectoria al brincarato lanza una longitud de 2.40 metros que alcanza una hartura de 60 cm,haya la ecuación de la parabola que traza su elemento
¿Como se realiza?

Answer 1

La trayectoria del conejo, desde el punto donde salta hasta el punto donde cae, es descrita por la parábola de ecuación $(x-1.2}) ^{2} =-2.4(y-0.6 )$

Primero definimos un sistema coordenado, para nuestra comodidad, podemos definir un plano, x-y, con centro (0,0) justo en el punto desde donde salta el conejo.

Identificamos los parámetros con los cuales contamos, alcance, $X=2.4m$,  y altura máxima, $y_{max}=0.6m$.

En el movimiento parabólico, si el cuerpo cae a la misma altura desde la cual partió, como es el caso, se tiene que la altura máxima se alcanza justo a la mitad del recorrido horizontal, por lo que $y_{max}$ tiene lugar a la mitad del alcance $X_{1/2} =1.2m$

Tenemos entonces elementos suficientes. Partimos de la ecuación canónica de una parábola, en este caso abierta hacia abajo y con eje paralelo al eje y.

$(x-x_{0} )^{2} =-4p(y-y_{0} )$

El punto $(x_{0} ,y_{0} )$ es el vértice de la parábola, y lo identificamos fácilmente como el punto donde el conejo alcanza la altura máxima,

$(x_{0},y_{0})=(X_{1/2},y_{max})=(1.2,0.6)$

Para determinar el parámetro $p$ basta con evaluar alguno de los puntos  conocidos de la parábola, $(x,y)$, que sea diferente al vértice. En nuestro caso contamos con dos puntos perfectamente conocidos, el punto de partida, $(0,0)$, justo al saltar donde no ha avanzado ni logrado altura, y el punto de llegada, $(2.4,0)$ , donde ha llegado al alcance y una vez mas está en el piso.

Evaluamos el punto de llegada:

$(x-x_{0} )^{2} =-4p(y-y_{0})\\(2.4-1.2)^2=-4p(0-0.6)\\1.2^2=2.4p\\p=\frac{1.44}{2.4}=0.6$

Sólo para comprobar que es igual cualquier punto, evaluamos el punto de partida:

$(x-x_{0} )^{2} =-4p(y-y_{0})\\(0-1.2)^2=-4p(0-0.6)\\(-1.2)^2=2.4p\\p=\frac{1.44}{2.4}=0.6$

Determinado el parámetro $p$, tenemos entonces la ecuación de la parábola en su forma canónica:

$(x-x_{0})^{2} =-4p(y-y_{0})\\(x-1.2)^2=-4(0.6)(y-0.6)\\\\(x-1.2)^2=-2.4(y-0.6)$

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Answer 2

La ecuación de la parábola que describe la trayectoria del conejo cuando salta es:

x²  +  2.4 y  -  1.44  =  0

Ecuación canónica de la parábola

El salto del conejo describe una parábola de eje focal vertical y de sentido negativo, es decir, abre hacia abajo.

La ecuación canónica de una parábola de eje vertical es:

(x  -  h)²  =  ±4p (y  -  k)

donde

• (h, k)    son las coordenadas del vértice
• p     es la distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz

Por conveniencia, vamos a ubicar el eje focal sobre el eje y, de manera que la superficie del suelo coincide con el eje x. El vértice queda ubicado en el punto (0, 0.6). El conejo iniciaría el salto en el punto  (-1.2, 0)  y caería en el punto  (1.2, 0).

Sustituimos la información conocida, del vértice y uno de los puntos sobre el suelo del conejo, en la ecuación dada para hallar el valor de p

(1.2  -  0)²  =  -4p (0  -  0.6)        de aquí       p  =  0.6

La ecuación será

(x  -  0)²  =  -4(0.6) (y  -  0.6)

La ecuación de la parábola que describe la trayectoria del conejo cuando salta es:

x²  +  2.4 y  -  1.44  =  0

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