Question

Una pelota de golf es disparada desde el suelo con una velocidad inicial de 220 m/s en un angulo respecto de la horizontal de 38°, calcula: Nota importante: Solo registra la respuesta numérica sin utilizar las unidades de medida
. La componente de la velocidad horizontal
La componente de la velocidad vertical
El tiempo que tarda en alcanzar su altura maxima
El tiempo que tarda en llegar al suelo
La altura máxima alcanzada
El alcance

Answer 1

 En los ejercicios de tiros oblicuos siempre hay que considerar los movimientos por componentes, horizontal y vertical. Esto debido a que la única fuerza que actúa sobre el objeto es la fuerza gravitatoria (se considera despreciable el rozamiento con el aire) que es vertical. Por lo tanto la única aceleración que el proyectil (pelota de golf en este caso) sufre, es en dirección vertical.
 Suele ser requisito establecer el sistema de coordenadas, que lo vamos a fijar en la posición del disparo, con el eje "x" representando el avance horizontal, y el eje "y" representando la elevación.
 El primer paso es descomponer la velocidad inicial en "x" y en "y":

$cos \alpha = \frac{v_i_x}{v_i} \\ \\ v_i_x=cos \alpha *v_i=cos38*220 \frac{m}{seg} =173,36 \frac{m}{seg}$

$sen \alpha = \frac{v_i_y}{v_i} \\ \\ v_i_y=sen \alpha *v_i=sen38*220 \frac{m}{seg}= 135,45 \frac{m}{seg}$

 En la medida de lo posible voy a poner las unidades, porque me ayuda a saber qué estoy haciendo, luego si le piden no expresarlas le encargo retirarlas de su ejercicio :-)

 La componente "x" de la velocidad es constante durante toda la trayectoria, por lo que la función x respecto del tiempo va a tener la forma:

$x_{(t)}=x_i+v_x_i*(t-t_o)$

 Donde x inicial definimos que es 0m por nuestro sistema de coordenadas, y t inicial definiremos que es 0seg porque comenzaremos a contar el tiempo de trayectoria desde el disparo del proyectil, entonces:

$x_{(t)}=0m+v_i_x*(t-0seg)=v_i_x*t\\ \\x_{(t)}=173,36\frac{m}{seg}*t$

 En cambio, en el sentido vertical, tenemos un movimiento acelerado por la fuerza de la gravedad, que tiene la forma:

$y_{(t)}=y_0+v_i_y*(t-t_0)- \frac{1}{2}*g* (t-t_0)^2$

 Donde y inicial definimos que es 0m porque disparamos desde el suelo, t inicial es 0seg, y a la gravedad ya le damos el signo negativo porque tiene sentido opuesto a la elevación, entonces:

$y_{(t)}=0m+v_i_y*(t-0seg)- \frac{1}{2} *g*(t-0seg)^2=v_i_y*t- \frac{1}{2}*g*t^2 \\ \\ y_{(t)}= 135,45 \frac{m}{seg}*t- \frac{1}{2}*9,8 \frac{m}{seg^2} *t^2$

 Con estas ecuaciones se puede calcular todo lo que se quiera en un tiro oblicuo. El método va a ser encontrar el tiempo al que la "y" vuelve a ser = 0, es decir que el proyectil vuelve al piso, y luego reemplazar ese tiempo en la "x" para conocer el alcance. Si pedimos que y=0, entonces:

$0=135,45 \frac{m}{seg}*t-4,9 \frac{m}{seg^2}*t^2$

 Que es una ecuación cuadrática con dos raíces reales, obviamente t=0 es solución porque el disparo fue realizado desde el suelo (caso contrario una solución sería negativa), y la segunda raíz puede obtenerla por varios métodos, para mí el más fácil es factorizar y ver:

$0=t*(135,45 \frac{m}{seg} -4,9 \frac{m}{seg^2} *t) \\ \\ t_0=0\\ \\t_1=\frac{135,45 \frac{m}{seg} }{4,9 \frac{m}{seg^2} }=27,64seg$

 Es decir, que tarda 27,64seg en llegar al suelo. Reemplazamos ese tiempo en la función x de t para conocer el alcance:

$x_{(27,64seg)}=173,36 \frac{m}{seg} *27,64seg=4791,67m$

 Bueno, 220 metros por segundo es una velocidad excesiva para una pelota de golf.. la dispararon con algo fuerte..
 Como sea, el disparo se realiza desde el suelo, por lo tanto la altura máxima se alcanza en la mitad del tiempo final (si no fuera así hay que buscar para qué tiempo la velocidad en "y" vale 0), enonces el tiempo de altura máxima será:

$t_{ \frac{1}{2}}= \frac{t_1}{2} = \frac{27,64seg}{2}=13,82seg$

 Y por último, vamos a reemplazar el tiempo medio en la ecuación de "y" para conocer la altura máxima:

$y_{(12,32seg)}=135,45 \frac{m}{seg} *13,82seg-4,9 \frac{m}{seg^2}*(13,82seg)^2 \\ \\ y_{(12,32seg)}=1871,92m-935,86m=936,06m$