Question

La suma de dos números es igual a 10 y la suma de sus cuadrados es igual a 58 ¿Cuáles son esos números?

Answer 1

SEAN LOS NÚMEROS : A Y B

LA SUMA DE LOS NÚMEROS:
A + B = 10

LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS NÚMEROS:
A² + B² = 58

LAS ECUACIONES SON:
1) A + B = 10
2) A² + B² = 58

RESOLVEMOS POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.
DESPEJAMOS LA VARIABLE A EN LA PRIMERA ECUACIÓN.
A + B = 10
A = 10 - B

SUSTITUYO EL DESPEJE DE A EN LA SEGUNDA ECUACIÓN.
A² + B² = 58
(10 - B)² + B² = 58
100 - 20B + B² + B² = 58
100 - 20B + 2B² = 58
2B² - 20B + 100 = 58
2B² - 20B + 100 - 58 = 0
2B² - 20B + 42 = 0

Resolvemos por fórmula general.
x = - b +-√(b² - 4ac)/a

Donde a = 2
Donde b = - 20
Donde c = 42

Resolvemos:
b₁ = - (- 20) + √((- 20)² - 4 (2) (42))/2 (2)
b₁ = 20 + √(400 - 336)/4
b₁ = 20 + √(64)/4
b₁ = (20 + 8)/4
b₁ = 28/4
b₁ = 7

b₂ = (20 - 8)/4
b₂ = 12/4
b₂ = 3

Rpt. Los números son: 7 y 3

Answer 2

Lo expresamos así:

La suma de los dos números: $x+y= 10$
La suma de los cuadrados de los dos números: $x^{2} + y^{2} = 58$

Resolveremos por el método de Sustitución:

Despejamos a x:

$x+y= 10 \\ \\ \boxed{\textbf{x= 10-y}} \\ \\ Sustituimos este valor en la otra ecuaci\'on: \\ \\ x^{2} + y^{2} = 58 \\ \\ \textbf{(10-y)}^{2} +y^{2} = 58 \\ \\ Cambiamos de lugar a \textbf{58}, hacia la parte de la \textbf{izquierda}. \\ \\ \textbf{(10-y)}^{2} +y^{2}-58 =0$

$Tendremos \ que \ expresar \ a \ (10-y)^{2}, \ como \ una \ multiplicaci\'on \ por \\ si \ misma: (-y+10)^{2} \times (-y+10)^{2}:\\ \\ { Expandimos a la ecuaci\'on, usando la \textbf{Propiedad Distributiva}: \\ \\ -y(y+10)+10(-y+10)+y^{2} -58= 0\\ \\ -y(-y)-y \times10+10(-y)+10\times10+y^{2} -58= 0 \\ Simplificamos los t\'erminos y los combinamos: \\ \\ y^{2}-10y-10y+100+y^{2}-58= 0 \\ \\ y^{2}-20y+100+y^{2}-58= 0 \\ Sumamos a : \textbf{y}^{\textbf{2}}+\textbf{y}^{\textbf{2}}}:$

$2y^{2}-20y+100-58= 0 \\ \\ 2y^{2}-20y+42= 0 \\ \\ Tenemos que factorizar, a todos les sacamos su mitad: \\ \\ 2(y^{2}-10y+21)=0 \\ Buscamos dos n\'umeros que sumados den -10 y su producto sea de 21: \\ (-7; -3) \\ \\ 2(y-7) (y-3)= 0 \\Dividimos a toda la expresi\'on entre 2: \\ \\ \dfrac{(y-7) (y-3)}{2} =0 \\ \\ Pasamos a \textbf{ Multiplicar} a\textbf{ 2} por la parte\textbf{ derecha}: \\ \\ (y-7) (y-3)= 0 \times 2 \\ \\ (y-7) (y-3)=0 \\ \\ (y-7)= 0 \\ \\ y-7= 0$

$\boxed{\boxed{\textbf{y}_{\textbf{1}} =\textbf{ 7 }}}\checkmark \checkmark \\ \\ (y-3)=0 \\ \\ y-3=0 \\ \\ \boxed{\boxed{\textbf{y}_{\textbf{2}} =\textbf{ 3 }}}\checkmark \checkmark$

Comprobación:

Sustituimos los valores:

$x+y= 10 \\ \\ \boxed{\boxed{\textbf{7+3= 10}}}\checkmark \checkmark \\ \\ x^{2} + y^{2} = 58 \\ \\ (7)^{2} +(3)^{2}=58 \\ \\ 49+9= 58 \\ \\ \boxed{\boxed{\textbf{58= 58}}}\checkmark \checkmark$

Saludos y Suerte!!!!!