Question

Una jugueteria vende x pelotas a p pesos con p=150-4x, el costo de producción de x pelotas es C=70x-2x^2.Determina el número de pelotas que debe vender la juguetería para obtener una ganancia máxima.
ME URGEEE PORFA!!

Answer 1

Hola!

Para hallar la respuesta correcta a este planteamiento lo primero que debemos saber es que la ganancia de la juguetería está dada por la diferencia entre los ingresos obtenidos y los costos totales, es decir:
G(X) = I(X) - C(X)

Los ingresos constituyen el total de pelotas vendidas (X) por su precio de venta (P), de esta forma:
I(X) = X.P(X)
I(X) = X.(150 - 4X)
I(X) = 150X - 4X²

Por lo tanto, la función de la ganancia será:
G(X) = I(X) - C(X)
G(X) = 150X - 4X² - (70X - 2X²)
G(X) = 150X - 4X² - 70X + 2X²
G(X) = -2X² + 80X 

Como podemos observar, la función de la ganancia es una función cuadrática que da origen a la gráfica de una parábola.
 
Para hallar el valor de X, donde G(X) es máxima podemos seguir los siguientes pasos:

1. Determinaremos la dirección de la gráfica que estará orientada hacia arriba o hacia abajo según el valor de "a"

En este caso a = -2

Quiere decir que la gráfica está orientada hacia abajo

2. Calcularemos el valor de X para el vértice de la parábola que como está orientada hacia abajo, representa el punto máximo de G(X)
 
X se calcula usando la fórmula $X = \frac{-b}{2a}$
 $X = \frac{-80}{2(-2)}$
X = 20 

Por lo tanto, el número de pelotas que debe vender la juguetería para obtener una ganancia máxima es de 20 pelotas.

Saludos!