Question

el lado mayor de un triangulo rectangulo mide 41 cm y su area es de 180 cm ^2 . hallar la longitud de los otros dos lados.

Answer 1

Respuesta: Los lados menores miden 5.31 cm y 40.67 cm.

Análisis y desarrollo
Debido a que nos plantean un solo lado conocido del triángulo y el área del mismo, del triángulo rectángulo tendremos que hacer una relación tanto por sus lados como por su área.

Para un triángulo rectángulo su área está dada por:

$A = \frac{b*a}{2}$

Donde:
Área: A
b: cateto adyacente del triángulo
a: cateto opuesto del triángulo

Se sabe que el área es de 108 cm², dato que sustituiremos en la ecuación pasada:

$108 = \frac{b*a}{2}$, despejamos el "producto de b por a":

108 × 2 = b × a

216 = b × a (I)

Otro dato que conocemos es referente a que su lado mayor mide 41 centímetros, es decir la hipotenusa del triángulo, por lo cual plantearemos Pitágoras para realizar otra relación:

41² = a² + b²   (II), despejamos a de I:

$a = \frac{216}{b}$

Sustituimos en II:

41² = $( \frac{216}{b} )^{2}$ + b²

1681 = $\frac{46656}{ b^{2} }$ + b²

1681 = $\frac{46656+ b^{4} }{ b^{2} }$

1681b² = 46656 + b⁴

b⁴ - 1681b² + 46656 = 0, sea u = b² para formar una ecuación de segundo grado

u² - 1681u + 46656 = 0

Se obtiene:
u = 28.23
u = 1652.77

Pero: u = b², por lo que b = √u

b = √28.23 = 5.31
b = √1652.77 = 40.66

Siendo estas dos las posibles soluciones

Buscaremos el valor de a:

Si b = 5.31: $a = \frac{216}{5.31}=40.67cm$

Si b = 40.67: $a = \frac{216}{40.67}=5.31cm$